函数恒成立问题参变分离法VIP免费

学科数学课题名称函数恒成立问题参变分离法周次教学目标教学重难占八、、函数恒成立问题参变分离法—、基础知识：1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的母侧都是只含有个字母的表达式。然后可利用其中个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。例如：（x-1）21等a1—x（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），问题。（可参见”恒成立问最值分析法“中的相关题若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决4、参变分离后会出现的情况及处理方法：(假设x为自变量，其范围设为D，f(x)为函数；a为参数，g(a)为其表达式)(1)若f(x)的值域为[m,M]①VxeD,g(a)f(x)，则只需要g(a)>f(x)=MmaxVxeD,g(a)>f(x)，则只需要g(a)>f(x)=Mmax③3xeD,g(a)f(x)，则只需要g(a)>f(x)=mmin3xeD,g(a)>f(x)，则只需要g(a)>f(x)=mmin(2)若f(x)的值域为(m,M)①VxeD,g(a)f(x)，则只需要g(a)>MVxeD,g(a)>f(x)，则只需要g(a)>M(注意与(1)中对应情况进行对比)③3xeD,g(a)f(x),则只需要g(a)>m(注意与(1)中对应情况进行对比)3xeD,g(a)>f(x)，则只需要g(a)>m5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母(通常为3个)的恒成立不等式,先观察好哪些字母的范围已知(作为变量)，那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理(1)选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值(同时消去一元)，进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。(2)将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。二、典型例题：例1：已知函数f(x)=ex-ae-x，若广(x)>2^3恒成立，贝V实数a的取值范围是思路：首先转化不等式，f'(x)=ex+ae-x，即ex+上>2爲恒成立，观察不等式exa与ex便于分离，考虑利用参变分离法，使a,x分居不等式两侧，a>-0+2压x,若不等式恒成立，只需a>((ex)+^3ex)，令maxg(x)=-(ex)2+2J3ex=-C-J3)+3(解析式可看做关于ex的二次函数，故配方求最值)g(x)=3，所以a>3max答案：a>3例2：已知函数f(x)二lnx-—,若f(x)xlnx-x3，其中xe(1,+8)x只需要a>(xlnx—x3)，令g(x)=xlnx一x3maxg'(x)=1+lnx-3x2(导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将lnx变为丄，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定g'(x)的符号，不妨x先验边界值)g'(1)=-2，g''(x)=1-6x=_<0，(判断单调性时一定要先看定义xx域，有可能会简化判断的过程)g'(x)在(1,+8)单调递减，g'(x)-1答案：a>-1注意：求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点(边界点，零点)等确定符号。例3：若对任意xeR，不等式3x2-2ax>x-3恒成立，则实数a的范围4是•思路：在本题中关于a,x的项仅有2ax一项，便于进行参变分离，但由于xGR,则分离参数时要对x的符号进行讨论，并且利用x的符号的讨论也可把绝对值