2asasabsns第三章线性方程组§1消元法一、线性方程组的初等变换现在讨论一般线性方程组。所谓一般线性方程组是指形式为ax+axHFax=b,1111221nn1ax+axHFax=b,、<2112222nn2(1)ax+axHFax=bs11s22snns的方程组，其中x,x,…,x代表n个未知量，s是方程的个数，12na(i=1,2,…,s;j=1,2,…,n)称为线性方程组的系数,b(j=1,2,…,s)称为常数项.方ijj程组中未知量的个数n与方程的个数s不一定相等。系数a的第一个指标i表示ij它在第i个方程，第二个指标j表示它是x的系数.j所谓方程组(1)的一个解就是指由n个数k,k，…,k组成的有序数组12n(k,k，…,k)，当x,x,x分别用k,k，…,k代入后，(1)中每个等式都变成12n12n12n恒等式.方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解,或者说,求出它的解集合。如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的。显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了。确切地说,线性方程组(1)可以用下面的矩阵aa…ab'11121n1aa•…ab.21.22.2n.2来表示。实际上,有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了,而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的。在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组。实际上,这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.例如，解方程组2x一+3x=1,123<4+2x+5x=4,1232x+x+2x=5123第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成2x一x+3x=1,123<4x一x=2,232x一x=4.23第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三两个方程的次序互换,即得2x一x+3x=1,123<2x一x=4,23x=-6.3这样，就容易求出方程组的解为(9，-1，-6).分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1。用一非零数乘某一方程；2.把一个方程的倍数加到另一个方程;3。互换两个方程的位置。定义1变换1，2，3称为线性方程组的初等变换.二、线性方程组的解的情形消元的过程就是反复施行初等变换的过程。下面证明,初等变换总是把方程组变成同解的方程组.下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组。对于方程组(1),首先检查x的系数。如果x的系数a,a,…,a全为零，那111121s1么方程组(1)对x没有任何限制，x就可以取任何值，而方程组(1)可以看作11x,…,x的方程组来解•如果x的系数不全为零，那么利用初等变换3,可以设2n1a丰0.利用初等变换2，分别把第一个方程的-红倍加到第i个方程11a11(i=2,…,n)。于是方程组(1)就变成ax+axHFax=b,1111221nn1a'xHFa'x=b',,、2222nn2(3)a'xHFa'x=b',s22snns其中a=a——亠•a,i=2,•…，s,j=2,•…,nijija1j11这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组
