概率统计模型前面几章讨论的模型中，有关的量都假定为确定性的，即所研究的问题和与问题有关的因素都是确定的.然而实际问题中常有许多不确定的因素起作用，特别是随机因素.下面介绍几类涉及随机变量的模型.§8.1库存问题一、问题的背景与提出工厂为了稳定的生产，需要贮存一定的原料或零部件；商店为了满足顾客的需要，要有足够的库存商品；银行为了进行正常的营业，需要一定的货币进行周转；医院为了手术的急需，血库必备充足血液.总之库存问题是普遍存在的.早在1915年,哈里斯(Harris)对商业中的库存问题建立了一个简单模型，并求得了最优解,但未被人们注意.1918年威尔逊(Wilson)重新得出了哈里斯的公式,并将其发展.他们的模型都是确定性的,二次大战后,带有随机性因素的库存模型得到研究.目前,库存问题的兴趣已转到了多物品、多个库存点的理论.二、模型假设(1)只考虑一种物品,其需求是随机的,需求量x是非负连续的随机变量，密度函数为φ(x),分布函数为Ф(x);(2)只考虑一个库存周期，即在库存周期开始时,做一次决策,决定进货量;(3)瞬时供货;(4)决策前原有库存量为I,进货量为Q,决策后的库存量为y=I+Q;(5)费用包括订货费、存贮费和缺货费.每次的订购手续费为K,货物单价为p;存贮费在周期末结算,它与期末的库存量成正比,比例系数为h（单位存贮费）,缺货费与缺货量成正比,比例系数为g（单位缺货损失）;(6)决策的准则是期望总费用最小.三、模型的建立与求解库存问题有补充—库存—需求三个环节.在这一系统中,若一次进货量多,进货的次数就少,进货的费用就少,但库存量大,库存费用就大,造成需求缺货就可能少,缺货损失就会少;若一次进货量少,进货的次数就多,进货费用就大,但库存量小,库存费用就小,造成需求缺货就可能多,缺货损失就会大.如何协调这些矛盾,使该系统在某种准则下运行最佳.即如何确定进货量,使其总费用最小.进货费用为存贮费用为期望存贮费用为缺货损失为期望缺货损失为记L(y)=Ec2(y–x)+Ec3(x–y)(1)则总费用为（2）目的是求当需要进货时有令（3）若S是使函数达到极小值的点,则(4)设s为库存量进货点,即当初始库存I0.204所以S=40,Q=S–I=40–10=30又因为K+pS+L(S)=60+800×40+40×[(40–30)×0.2]+1015×[(50–40)×0.4+(60–40)×0.2]=40260800×30+1015×[(40–30)×0.2+(50–30)×0.4+(60–30)×0.2]=40240≤K+pS+L(S)所以s=30.故存贮策略为每个阶段开始时检查存贮量I,当I>30吨时不必补充存贮;当I≤30吨时补充存贮量到40吨.例2某市石油公司希望确定一种油的存贮策略,以确定应贮存的油量.该油的市场需求服从指数分布,其密度函数为该种油每近2元,不需进货费.由于油库归该公司管辖,油池灌满与没灌满时的管理费用实际上没有多少差别,故可以认为存贮费用为零.如缺货就从邻市调用,缺货费为3元/斤.解由模型假设K=0,h=0,p=2,g=3计算由,有,两端取对数解出S≈405000因ps+L(s)=2s+K+pS+L(S)=由观察可知,它有唯一解s=S.所以当库存下降到405000斤以下就应进货,使库存达到405000斤.出现s=S,是因为进货费为零,可以频繁进货,又存贮费为零,存贮量多一些也不会增加费用.五、模型讨论由(3)可以看出,缺货费g越大,概率越大,库存水平S应越大,这是符合常识的.根据假设(4),Q=S-s,由(1),(5)经化简便为（6）在S确定的情况下(S由(4)可确定),由(6)可求得Q,进而可求出s.如由(4)可解出由(6)有简化后为它可由数值方法或图解法求解,由上式亦可求得Q的近似解,当λQ较小时,取展开到二阶项,此时可得到,则§8.2维修问题一、问题的背景与提出现实中许多系统在使用过程中,往往由于维修性问题考虑不周,而使维修费用过大.特别是系统突发性故障,常常会造成巨大的损失,有时会招致灾难性后果.因而在故障前进行预防性维修是提高系统可靠性、安全性和经济性的有效措施.维修问题最早起因与机器维修问题,后发展为可靠性理论,是应用概率和应用数理统计的一个重要分支.二、模型假设只考虑一个部件的故障,部件寿命是随机的,遵从指数分布;部件故障需检测才会发现,ci为一次检测费用,检测时间忽略不计,检测时间间隔为T;若发现部件故障,则立即更换,cf为一次更换费用,更换时间忽略不计.若发现部件仍正常,则让部件继续工作;部件故障没能...
