2022年全国高中数学联赛模拟试题08第一试(时间:8:00-9:20满分:120)一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.1.不等式10x220x18x13x35x的解集是22.适当排列三个正实数10a81a207,a2,262a使得它们取常用对数后构成公差为1的等差数列,则a的值等于3.已知空间四边形ABCD的对角线AC10cm,BD6cm,M,N分别是AB,CD的中点,若异面直线AC,BD所成角为60,则MN4.在△ABC中,设5.设P为圆xy1上一定点,点Q,R在该圆的内部或圆周上,且△PQR是边长为22absinBac且cos(AB)cosC1cos2C,则asinBsinAb23的正三角形,则OQOR的最小值是6.已知a,b,c0,1,则22abc的取值范围是bc1ca1ab1x2y21内一点M(3,2)作直线l1,l2分别与椭圆交于点A,B,C,D,过A,B分别作椭圆的切线7.过椭圆259交于P,过C,D分别作椭圆的切线交于Q,则直线PQ的方程是8.正六边形ABCDEF的中心为O,对A,B,C,D,E,F,O这7个点中的任意两点,以其中一点为起点,另一点为终点作向量,任取其中两个向量,它们的数量积的绝对值的数学期望是二、解答题:本大题共3小题,共56分.n2n29.已知数列Sn的通项公式为Sn,数列Mn满足:M1St1,M2M1M32**且当n2时Mn=Stn-Stn1,其中t11,tnNn2,nN=Stn-Stn1证明:一定存在数列tn使得数列Mn中的每个数均为完全平方数10.非负实数a,b,c满足abc3.求S(aabb)(bbcc)(ccaa)的最大值.222222△A1A2A3有两边所在的11.已知A1x1,y1,A2x2,y2,A3x3,y3是抛物线y2pxp0上不同的三点,2直线与抛物线x2qyq0相切,证明:对不同的i,j1,2,3,yiyjyiyj为定值22022年全国高中数学联赛模拟试题08第一试(时间:8:00-9:20满分:120)一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.1.不等式210x220x18x13x35x的解集是即原不等式解集为xx2或1x12.适当排列三个正实数10a81a207,a2,262a使得它们取常用对数后构成公差为1的等差数列,则a的值等于3.已知空间四边形ABCD的对角线AC10cm,BD6cm,M,N分别是AB,CD的中点,若异面直线AC,BD所成角为60,则MN4.在△ABC中,设absinBac且cos(AB)cosC1cos2C,则asinBsinAb5.设P为圆xy1上一定点,点Q,R在该圆的内部或圆周上,且△PQR是边长为2223的正三角形,则OQOR的最小值是6.已知a,b,c0,1,则22abc的取值范围是bc1ca1ab1x2y21内一点M(3,2)作直线l1,l2分别与椭圆交于点A,B,C,D,过A,B分别作椭圆的切线7.过椭圆259交于P,过C,D分别作椭圆的切线交于Q,则直线PQ的方程是8.正六边形ABCDEF的中心为O,对A,B,C,D,E,F,O这7个点中的任意两点,以其中一点为起点,另一点为终点作向量,任取其中两个向量,它们的数量积的绝对值的数学期望是二、解答题:本大题共3小题,共56分.n2n29.已知数列Sn的通项公式为Sn,数列Mn满足:M1St1,M2M1M32且当n2时Mn=Stn-Stn1,其中t11,tnN*n2,nN*=Stn-Stn1证明:一定存在数列tn使得数列Mn中的每个数均为完全平方数证明:因为M1S11,若t22,M2S2S1312,M3St3S22因为M2M1M3,所以t3t313,2t3t3134,t3t3114,此方程无整数解;2t3t316,若t23,M2S3S1615,M3St3S32t3t312625,t3t3162,此方程无整数解;因为M2M1M3,所以2t3t3110,若t24,M2S4S11019,M3St3S42t3t3121081,t3t31182,解得t313,因为M2M1M3,所以222此时M23,M39均为完全平方数所以t24,t313满足题意…………………………4分3n1一般的取tn1333,………………………8分23n13n13n113n11112222此时Stn,Stn1,222n13n13n13n113n111122222则Mn=Stn-Stn1=3n1,所以Mn为一整数平方.22因此存在数列...