2009~2013年高考真题备选题库第3章三角函数、解三角形第8节正弦定理和余弦定理的应用考点解三角形在实际中的应用1．(2013江苏，16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：本题考查正弦、余弦定理，二次函数的最值，两角和的正弦公式，不等式的解法，意在考查考生阅读审题建模的能力和解决实际问题的能力．(1)在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝×＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理＝，得BC＝×sinA＝×＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)范围内．2．(2010福建，12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解：法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝＝＝.故当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30.即，小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇．则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－＋. 0AC，且对于线段AC上任意点P，有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇．设∠COD＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt△COD中，CD＝10tanθ，OD＝.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t＝和t＝，所以，＝.由此可得，v＝.又v≤30，故sin(θ＋30°)≥.从而，30°≤θ<90°.由于θ＝30°时，tanθ取得最小值，且最小值为.于是，当θ＝30°时，t＝取得最小值，且最小值为.法三：(1)同法一或法二．(2)设小艇与轮船在B处相遇．依据题意得：v2t2＝400＋900t2...
