2009~2013年高考真题备选题库第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及其线性运算考点平面向量的概念与线性运算1．（2013广东，5分）设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：本题主要考查平面向量知识，考查数形结合、分类与整合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、推理论证能力．显然①②正确；对于③，当μ＜|a|sina，b时，不存在符合题意的单位向量c和实数λ，③错；对于④，当λ＝μ＝1，|a|＞2时，易知④错．答案：B2．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE�·BD�＝________.解析：本题考查平面向量的基本定理及基本运算，是基本题目，意在考查考生的运算求解能力．选向量的基底为AB�，AD�，则BD�＝AD�－AB�，AE�＝AD�＋AB�，那么AE�·BD�＝·(AD�－AB�)＝2.答案：23（2013江苏，5分）．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE�＝λ1AB�＋λ2AC�(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：本题考查向量的基本定理、向量的运算，意在考查学生的转化与化归能力．DE�＝DB�＋BE�＝AB�＋BC�＝AB�＋(BA�＋AC�)＝－AB�＋AC�，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.答案：4．（2010安徽，5分）设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝C．a∥bD．a－b与b垂直解析：|a|＝＝1，|b|＝＝；a·b＝1×＋0×＝；(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．答案：D5.（2010山东，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP�的坐标为________．解析：如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ，Q为垂足．根据题意得劣弧D＝2，故∠DCP＝2弧度，则在△PCQ中，∠PCQ＝(2－)弧度，|CQ|＝cos(2－)＝sin2，|PQ|＝sin(2－)＝－cos2，所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos2，所以P点的坐标为(2－sin2，1－cos2)，此即为向量OP�的坐标．答案：(2－sin2,1－cos2)6．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP�·AC�＝________.解析：设AC与BD的交点为O，则AP�·AC�＝AP�·2AO�＝2AP�2＋2AP�·PO�＝2×32＋0＝18.答案：187．（2011浙江，4分）若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：对于以向量α，β为邻边的平行四边形的面积S0＝|α||β|·sin〈α，β〉×2＝|β|sin〈α，β〉＝，因此sin〈α，β〉＝∈[，1]，因此α与β的夹角θ的取值范围是[，]．答案：[，]8．（2010浙江，4分）已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝＝＝.答案：
