2009~2013年高考真题备选题库第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例考点一平面向量的数量积1．（2013湖南，5分）已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为()A.－1B.C.＋1D.＋2解析：本题主要考查向量的坐标运算、向量模的几何含义与向量模的最值求解，意在考查考生的转化能力、数形结合思想的运用能力．建立平面直角坐标系，令向量a，b的坐标a＝(1,0)，b＝(0,1)，令向量c＝(x，y)，则有＝1，|c|的最大值为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1,1)到原点的距离加圆的半径，即＋1.答案：C2．（2013湖北，5分）已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB�在CD�方向上的投影为()A.B.C．－D．－解析：本题考查向量的坐标运算及向量投影的概念，意在考查考生对基础知识的掌握情况．AB�＝(2,1)，CD�＝(5,5)，向量AB�＝(2,1)在CD�＝(5,5)上的投影为|AB�|cos〈AB�，CD�〉＝|AB�|＝＝＝，故选A.答案：A3．（2010辽宁，5分）平面上O，A，B三点不共线，设OA�＝a，OB�＝b，则△OAB的面积等于()A.B.C.D.解析：因为cos〈a，b〉＝，所以sin∠AOB＝sin〈a，b〉＝，则S△AOB＝×|a|×|b|×sin∠AOB＝×.答案：C4．(2010湖南，5分)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|2cos〈a，b〉＋a2＝0⇒cos〈a，b〉＝－，所以夹角为120°.答案：C5．(2009·福建，5分)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于()A．以a，b为两边的三角形的面积B．以b，c为两边的三角形的面积C．以a，b为邻边的平行四边形的面积D．以b，c为邻边的平行四边形的面积解析： |b·c|＝|b|·|c||cosθ|，如图， a⊥c，∴|b·cosθ|就是以a、b为邻边的平行四边形的高，而|a|＝|c|，∴|b·c|＝|a|(|b|·|cosθ|)，∴|b·c|表示以a、b为邻边的平行四边形的面积．答案：C6．（2012新课标全国，5分）已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.解析：依题意，可知|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4－4|a||b|·cos45°＋|b|2＝4－2|b|＋|b|2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，∴|b|＝＝3(负值舍去)．答案：37．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.解析：本题考查平面向量的数量积运算，意在考查考生的运算求解能力．根据数量积b·c＝0，把已知两向量的夹角转化到两向量数量积的运算中．因为向量a，b为单位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝，由b·c＝0得b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以t＋(1－t)＝0，所以t＝2.答案：28．（2013安徽，5分）若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．解析：本题主要考查平面向量数量积的运算和夹角等基础知识和基础运算．对向量的模同时平方可得，|a|2＝9|b|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以有4a·b＝－4|b|2，即cos〈a，b〉＝－＝－.答案：－9．（2013浙江，4分）设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．解析：本题考查向量的概念、运算、函数的最值等知识，考查转化与化归能力、函数与方程思想以及灵活利用知识分析问题、解决问题的能力．当x＝0时，＝0，当x≠0时，2＝＝＝≤4，所以的最大值是2，当且仅当＝－时取到最大值．答案：210.（2012江苏，5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB�·AF�＝，则AE�·BF�的值是________．解析：以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．设F(x,2)(0≤x≤)，由AB�·AF�＝⇒x＝⇒x＝1，所以F(1,2)，AE�·BF�＝(，1)·(1－，2)＝.答案：11．（2012湖北，5分）已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；(2)向量b－3a与向量a...
