2009~2013年高考真题备选题库第5章数列第4节数列求和考点一等差数列与等比数列的综合1．（2013江苏，16分）设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项的和．记bn＝，n∈N*，其中c为实数．(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；(2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.证明：本题考查等差、等比数列的定义，通项及前n项和，意在考查考生分析问题、解决问题的能力与推理论证能力．由题设，Sn＝na＋d.(1)由c＝0，得bn＝＝a＋d.又b1，b2，b4成等比数列，所以b＝b1b4，即2＝a，化简得d2－2ad＝0.因为d≠0，所以d＝2a.因此，对于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.从而对于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.(2)设数列{bn}的公差是d1，则bn＝b1＋(n－1)d1，即＝b1＋(n－1)d1，n∈N*，代入Sn的表达式，整理得，对于所有的n∈N*，有n3＋n2＋cd1n＝c(d1－b1)．令A＝d1－d，B＝b1－d1－a＋d，D＝c(d1－b1)，则对于所有的n∈N*，有An3＋Bn2＋cd1n＝D.(*)在(*)式中分别取n＝1,2,3,4，得A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋4cd1，从而有由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0.即d1－d＝0，b1－d1－a＋d＝0，cd1＝0.若d1＝0，则由d1－d＝0，得d＝0，与题设矛盾，所以d1≠0.又cd1＝0，所以c＝0.2．（2013浙江，14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求d，an；(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|…＋＋|an|.解：本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式，求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力．(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|…＋＋|an|＝Sn＝－n2＋n.当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|…＋＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|…＋＋|an|＝3．（2013天津，14分）已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且－2S2，S3,4S4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明Sn≤＋(n∈N*)．解：本题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，数列的基本性质等基础知识．考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力．(1)设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝×n－1＝(－1)n－1·.(2)证明：Sn＝1－n，Sn＋＝1－n＋＝当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn≤＋S1＋＝；当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn≤＋S2＋＝.故对于n∈N*，有Sn≤＋.4.（2013陕西，12分）设Sn表示数列{an}的前n项和．(1)若{an}为等差数列，推导Sn的计算公式；(2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n，有Sn＝.判断{an}是否为等比数列，并证明你的结论．解：本题主要考查等差数列前n项和公式推导所用的倒序相加法，考查等比数列的证明方法和一般数列切入点的技巧，深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法．(1)法一：设{an}的公差为d，则Sn＝a1＋a2…＋＋an＝a1＋(a1＋d)…＋＋[a1＋(n－1)d]，又Sn＝an＋(an－d)…＋＋[an－(n－1)d]，∴2Sn＝n(a1＋an)，∴Sn＝.法二：设{an}的公差为d，则Sn＝a1＋a2…＋＋an＝a1＋(a1＋d)…＋＋[a1＋(n－1)d]，又Sn＝an＋an－1…＋＋a1＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]…＋＋a1，∴2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]…＋＋[2a1＋(n－1)d]＝2na1＋n(n－1)d，∴Sn＝na1＋d.(2){an}是等比数列．证明如下： Sn＝，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝－＝＝qn. a1＝1，q≠0，∴当n≥1时，有＝＝q，因此，{an}是首项为1且公比为q的等比数列．5．（2013重庆，13分）设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋.(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.解：本题主要考查等比数列、等差数列的通项公式与前n项和等基础知...
