一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图所示，△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,AD丄BC,DE丄AC,△CDE沿直线BC翻折到厶CDF,连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I.(1)求证：AF丄BE；(2)求证：AD=3DI.【答案】(1)证明：•••在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D是BC的中点,AD=BD=CD,ZACB=45°,T在厶ADC中,AD=DC,DE丄AC,.AE=CE,T△CDE沿直线BC翻折到△CDF,△CDE竺△CDF,CF=CE,ZDCF=ZACB=45°,CF=AE,ZACF=ZDCF+ZACB=90°,AB十AC{ZBAE=ZACF在厶ABE与厶ACF中，二-K△ABE竺△ACF(SAS),ZABE=ZFAC,TZBAG+ZCAF=90°,ADI=IM,CD=DI+IM+MC=3DI,.AD=3DI【解析】【分析】(1)根据翻折的性质和SAS证明△ABE竺△ACF，利用全等三角形的性质得出ZABE=ZFAC,再证明ZAGB=90°,可证得结论。(2)作IC的中点M,结合正方形的性质，可证得ZEAH=ZHFD,AE=DF,利用AAS证明△AEH与厶FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。2.阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形.例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG,HF交于点0,易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形.任务：A【答(1)(25__CH14-1（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为（2）如图2,已知△ABC中，乙ACB=90°,AC=4,BC=3,小明发现厶ABC也是"自相似图形”他的思路是：过点C作CD丄AB于点D，则CD将厶ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.已知△ACD-△ABC,贝仏ACD与厶ABC的相似比为；（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a,宽AB=b（a>b）.请从下列A、B两题中任选一条作答.A:①如图3-1,若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含b的式子表示）；②如图3-2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含n,b的式子表示）；B：①如图4-1,若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=（用含b的式子表示）；②如图4-2,若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=（用含m,n,b的式子表示）.【解析】【解答】（解：（1）T点H是AD的中点,1AH=.AD,•••正方形AEOH-正方形ABCD,Ah1.相似比为：.==.；故答案为：；(2)在RtAABC中，AC=4,BC=3，根据勾股定理得，AB=5,AC_4•••△ACD与厶ABC相似的相似比为：，4故答案为：；(3)A、①T矩形ABEF-矩形FECD,•.AF：AB=AB：AD，1即•a：b=b：a，•a=、.、'b；故答案为：1②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和历a，1则b：'a=a：b，•a=\■b；故答案为：罷'B、①如图2，4li|HLnjH图2由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等,1•DN=b，I、当FM是矩形DFMN的长时，T矩形FMND-矩形ABCD，•FD：DN=AD：AB，1即FD：b=a：b，1解得FD=a，1>••AF=a—■ja=-a，廿.V1AG==_-=a,T矩形GABH-矩形ABCD,AG：AB=AB：AD1即a：b=b：a得：a=\b；口、当DF是矩形DFMN的长时,T矩形DFMN-矩形ABCD,FD：DN=AB：AD1即FD：b=b：aA£解得FD=■,£3#AF=a-•_•：.：=,AF3#_*AG==,T矩形GABH-矩形ABCD,AG：AB=AB：AD即'-:b=b：a,得:a=b；^21故答案为：J或—；②如图3,由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等,1DN=-:；ib，I、当FM是矩形DFMN的长时，T矩形FMND-矩形ABCD，FD：DN=AD：AB，n/'}即FD：■b=a：b,解得FD=-a,AF=a-■a,AG=衣=.；；；=a,T矩形GABH-矩形ABCD,AG：AB=AB：ADn-1即■'■■■■■■a：b=b：aI得：a=\b；口、当DF是矩形DFMN的长时,T矩形DFMN-矩形ABCD,FD：DN=AB：AD1即FD：'b=b：a£解得FD='■,£..AF=a-,I1/-Zr.AG==沁：.；T矩形GABH-矩形ABCD,AG：AB=AB：AD吕#-*即•：；；»；:b=b：a,得:a=、b；故答案为：、b或\b.【分析】由题意可知，用相似多边形的性质即可求解。相似多边形的性质是湘似多边形的对应边的比相等。相似多边形的对应边的比等于相似比。(1)由题意知，小正方形的边长等于大正方形的边长的一半，所...
