A组专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2015·江西新余模拟)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是()A.B．(1，2)C.D．(2，3)解析函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象得0＜b＜1，f(1)＝0，从而－2＜a＜－1，而g(x)＝lnx＋f′(x)在定义域内单调递增，g＝ln＋1＋a＜0，g(1)＝ln1＋2＋a＝2＋a＞0，∴函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是，故选C.答案C2．(2015·河北恒台模拟)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)…，，fn(x)＝fn－1′(x)，n∈N，则f2015(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝sinx，…由上面可以看出，以4为周期进行循环．所以f2015(x)＝f3(x)＝－cosx，故选D.答案D3．(2015·江西新余模拟)设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为()A．1－ln2B.(1－ln2)C．1＋ln2D.(1＋ln2)解析函数y＝ex和函数y＝ln(2x)互为反函数图象关于y＝x对称．则只有直线PQ与直线y＝x垂直时|PQ|才能取得最小值．设P，则点P到直线y＝x的距离为d＝，令g(x)＝ex－x，(x>0)，则g′(x)＝ex－1，令g′(x)＝ex－1>0得x>ln2；令g′(x)＝ex－1<0得0
0，所以dmin＝.则|PQ|＝2dmin＝(1－ln2)．故B正确．答案B4．(2013·浙江温州模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足：f(4)＝－3，且对任意x∈R总有f′(x)<3，则不等式f(x)<3x－15的解集为()A．(∞－，4)B．(∞－，－4)C．(∞－，－4)∪(4，∞＋)D．(4，∞＋)解析记g(x)＝f(x)－3x＋15，则g′(x)＝f′(x)－3<0，可知g(x)在R上为减函数．又g(4)＝f(4)－3×4＋15＝0，所以f(x)<3x－15可化为f(x)－3x＋15<0，即g(x)4.答案D5．(2013·北京朝阳调研)已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.解析因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个极小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，只需3m－≥－9，解得m≥.答案A二、填空题6．(2014·山西临汾一模)函数y＝的极小值为______．解析函数的定义域为(0，∞＋)，令y＝f(x)，f′(x)＝＝.令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝e2.函数f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表：x(0，1)1(1，e2)e2(e2，∞＋)f′(x)－0＋0－f(x)0则当x＝1时，函数y＝取到极小值0.答案0三、解答题7．(2015·湛江质检)已知函数f(x)＝sinx(x≥0)，g(x)＝ax(x≥0)．(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)－f(x)≤x3.(1)解令h(x)＝sinx－ax(x≥0)，则h′(x)＝cosx－a.①若a≥1，h′(x)＝cosx－a≤0，h(x)＝sinx－ax(x≥0)单调递减，h(x)≤h(0)＝0，则sinx≤ax(x≥0)成立．②若00，h(x)＝sinx－ax(x∈(0，x0))单调递增，h(x)>h(0)＝0，不合题意．③若a≤0，结合f(x)与g(x)的图象可知显然不合题意．综上可知，a的取值范围是[1，∞＋)．(2)证明当a取(1)中的最小值为1时，g(x)－f(x)＝x－sinx.设H(x)＝x－sinx－x3(x≥0)，则H′(x)＝1－cosx－x2.令G(x)＝1－cosx－x2，则G′(x)＝sinx－x≤0(x≥0)，所以G(x)＝1－cosx－x2在[0，∞＋)上单调递减，此时G(x)＝1－cosx－x2≤G(0)＝0，即H′(x)＝1－cosx－x2≤0，所以H(x)＝x－sinx－x3在x∈[0，∞＋)上单调递减．所以H(x)＝x－sinx－x3≤H(0)＝0，则x－sinx≤x3(x≥0)．所以，当a取(1)中的最小值时，g(x)－f(x)≤x3.一年创新演练8．函数y＝x＋2cosx在区间上的最大值是______．解析y′＝1－2sinx，令y′＝0，且x∈，得x＝，则x∈时，y′>0；x∈时，y′<0，故函数在上递增，在上递减，所以当x＝时，函数取最大值为＋.答案＋B组专项提升测试三年模拟精选一、选择题9．(2015·辽宁沈阳模拟)已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数...
