第五辑解析几何问题[通关演练A组](建议用时:60分钟)1.已知椭圆C1:+=1,椭圆C2以C1的短轴为长轴,且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程;(2)设直线l与椭圆C2相交于不同的两点A、B,已知A点的坐标为(-2,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且QA·QB=4,求直线l的方程.解(1)由题意可设椭圆C2的方程为+=1(a>b>0),则a=2,e=,∴c=,b2=1,∴椭圆C2的方程为+y2=1.(2)由A(-2,0),设B点的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2).于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0,由-2x1=,得x1=,从而y1=,设线段AB的中点为M,则M的坐标为.①当k=0时,点B的坐标为(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,于是QA=(-2,-y0),QB=(2,-y0),由QA·QB=4,得y0=±2,∴l的方程为y=0.②当k≠0时,线段AB的垂直平分线方程为y-=-,令x=0,解得y0=-,由QA=(-2,-y0),QB=(x1,y1-y0),QA·QB=-2x1-y0(y1-y0)=+·=4,整理得7k2=2,故k=±,∴l的方程为y=±(x+2).2.在平面直角坐标系xOy中,动点P到直线l:x=2的距离是到点F(1,0)的距离的倍.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设直线FP与(1)中曲线交于点Q,与l交于点A,分别过点P和Q作l的垂线,垂足为M,N,问:是否存在点P使得△APM的面积是△AQN面积的9倍?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.解(1)设点P的坐标为(x,y).由题意知=|2-x|,化简,得x2+2y2=2,所以动点P的轨迹方程为x2+2y2=2.(2)设直线FP的方程为x=ty+1,点P(x1,y1),Q(x2,y2),因为△AQN∽△APM,所以有PM=3QN,由已知得PF=3QF,所以有y1=-3y2,①由得(t2+2)y2+2ty-1=0,Δ=4t2+4(t2+2)=8>0y1+y2=-②,y1·y2=-③,由①②③得t=-1,y1=1,y2=-或t=1,y1=-1,y2=,所以存在点P为(0,±1).3.已知动点P到点A(-2,0)与点B(2,0)的斜率之积为-,点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若点Q为曲线C上的一点,直线AQ,BQ与直线x=4分别交于M,N两点,直线BM与椭圆的交点为D.求证,A,D,N三点共线.(1)解设P点坐标(x,y),则kAP=(x≠-2),kBP=(x≠2),由已知·=-,化简,得+y2=1,所求曲线C的方程为+y2=1(x≠±2).(2)证明由已知直线AQ的斜率存在,且不等于0,设方程为y=k(x+2),由消去y,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,①因为-2,xQ是方程①的两个根,所以-2xQ=,得xQ=,又yQ=k(xQ+2)=k=,所以Q.当x=4,得yM=6k,即M(4,6k).又直线BQ的斜率为-,方程为y=-(x-2),当x=4时,得yN=-,即N.直线BM的斜率为3k,方程为y=3k(x-2).由消去y得:(1+36k2)x2-144k2x+144k2-4=0,②因为2,xD是方程②的两个根,所以2·xD=,得xD=,又yD=3k(xD-2)=-,即D,由上述计算:A(-2,0),D,N.因为kAD=-,kAN=-,所以kAD=kAN.所以A,D,N三点共线.[通关演练B组](建议用时:60分钟)1.设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆C:+=1(a>b>0)上两点,已知m=,n=,若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.解(1) 2b=2,∴b=1,∴e===.∴a=2,c=.故椭圆的方程为+x2=1.(2)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,由m·n=0,得x-=0⇒y=4x.又A(x1,y1)在椭圆上,所以x+=1,∴|x1|=,|y1|=,S=|x1||y1-y2|=1=|x1|·2|y1|=1.②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b(其中b≠0),代入+x2=1,得(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0.有Δ=(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)=16(k2-b2+4)>0,x1+x2=,x1x2=,由已知m·n=0得x1x2+=0⇔x1x2+=0,代入整理得2b2-k2=4,代入Δ中可得b2>0满足题意,∴S=|AB|=|b|===1.所以△ABC的面积为定值.2.已知定点A(p为常数,p>0),B为x轴负半轴上的一个动点,动点M使得|AM|=|AB|,且线段BM的中点G在y轴上.(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)设EF为曲线C的一条动弦(EF不垂直于x轴),其垂直平分线与x轴交于点T(4,0),当p=2时,求|EF|的...