第五辑解析几何问题[通关演练A组](建议用时：60分钟)1．已知椭圆C1：＋＝1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设直线l与椭圆C2相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为(－2,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且QA·QB＝4，求直线l的方程．解(1)由题意可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝2，e＝，∴c＝，b2＝1，∴椭圆C2的方程为＋y2＝1.(2)由A(－2,0)，设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．于是A，B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0，由－2x1＝，得x1＝，从而y1＝，设线段AB的中点为M，则M的坐标为.①当k＝0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是QA＝(－2，－y0)，QB＝(2，－y0)，由QA·QB＝4，得y0＝±2，∴l的方程为y＝0.②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y－＝－，令x＝0，解得y0＝－，由QA＝(－2，－y0)，QB＝(x1，y1－y0)，QA·QB＝－2x1－y0(y1－y0)＝＋·＝4，整理得7k2＝2，故k＝±，∴l的方程为y＝±(x＋2)．2．在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线l：x＝2的距离是到点F(1,0)的距离的倍．(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线FP与(1)中曲线交于点Q，与l交于点A，分别过点P和Q作l的垂线，垂足为M，N，问：是否存在点P使得△APM的面积是△AQN面积的9倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．解(1)设点P的坐标为(x，y)．由题意知＝|2－x|，化简，得x2＋2y2＝2，所以动点P的轨迹方程为x2＋2y2＝2.(2)设直线FP的方程为x＝ty＋1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为△AQN∽△APM，所以有PM＝3QN，由已知得PF＝3QF，所以有y1＝－3y2，①由得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0，Δ＝4t2＋4(t2＋2)＝8>0y1＋y2＝－②，y1·y2＝－③，由①②③得t＝－1，y1＝1，y2＝－或t＝1，y1＝－1，y2＝，所以存在点P为(0，±1)．3．已知动点P到点A(－2,0)与点B(2,0)的斜率之积为－，点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x＝4分别交于M，N两点，直线BM与椭圆的交点为D.求证，A，D，N三点共线．(1)解设P点坐标(x，y)，则kAP＝(x≠－2)，kBP＝(x≠2)，由已知·＝－，化简，得＋y2＝1，所求曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±2)．(2)证明由已知直线AQ的斜率存在，且不等于0，设方程为y＝k(x＋2)，由消去y，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，①因为－2，xQ是方程①的两个根，所以－2xQ＝，得xQ＝，又yQ＝k(xQ＋2)＝k＝，所以Q.当x＝4，得yM＝6k，即M(4,6k)．又直线BQ的斜率为－，方程为y＝－(x－2)，当x＝4时，得yN＝－，即N.直线BM的斜率为3k，方程为y＝3k(x－2)．由消去y得：(1＋36k2)x2－144k2x＋144k2－4＝0，②因为2，xD是方程②的两个根，所以2·xD＝，得xD＝，又yD＝3k(xD－2)＝－，即D，由上述计算：A(－2,0)，D，N.因为kAD＝－，kAN＝－，所以kAD＝kAN.所以A，D，N三点共线．[通关演练B组](建议用时：60分钟)1．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上两点，已知m＝，n＝，若m·n＝0且椭圆的离心率e＝，短轴长为2，O为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．解(1) 2b＝2，∴b＝1，∴e＝＝＝.∴a＝2，c＝.故椭圆的方程为＋x2＝1.(2)①当直线AB斜率不存在时，即x1＝x2，y1＝－y2，由m·n＝0，得x－＝0⇒y＝4x.又A(x1，y1)在椭圆上，所以x＋＝1，∴|x1|＝，|y1|＝，S＝|x1||y1－y2|＝1＝|x1|·2|y1|＝1.②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋b(其中b≠0)，代入＋x2＝1，得(k2＋4)x2＋2kbx＋b2－4＝0.有Δ＝(2kb)2－4(k2＋4)(b2－4)＝16(k2－b2＋4)>0，x1＋x2＝，x1x2＝，由已知m·n＝0得x1x2＋＝0⇔x1x2＋＝0，代入整理得2b2－k2＝4，代入Δ中可得b2>0满足题意，∴S＝|AB|＝|b|＝＝＝1.所以△ABC的面积为定值．2．已知定点A(p为常数，p>0)，B为x轴负半轴上的一个动点，动点M使得|AM|＝|AB|，且线段BM的中点G在y轴上．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)设EF为曲线C的一条动弦(EF不垂直于x轴)，其垂直平分线与x轴交于点T(4,0)，当p＝2时，求|EF|的...
