第六辑函数与导数问题[通关演练A组](建议用时：60分钟)1．已知函数f(x)＝－alnx＋＋x(a≠0)，(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．解由已知得，f(x)的定义域为{x|x>0}，f′(x)＝－－＋1(x>0)．(1)根据题意，有f′(1)＝－2，∴－a－2a2＋1＝－2，即2a2＋a－3＝0.解得a＝1，或a＝－.(2) f′(x)＝－－＋1＝＝(x>0)．①当a>0时，由f′(x)>0，及x>0得x>2a；由f′(x)<0，及x>0得0
0时，函数f(x)在(2a∞，＋)上单调递增，在(0,2a)上单调递减．②当a<0时，由f′(x)>0，及x>0得x>－a；由f′(x)<0，及x>0得00)①当a＝0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0∞，＋)单调递增；②当a<0时，由f′(x)＝0，解得x＝－，则当x∈时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，综上所述：当a＝0时，f(x)在(0∞，＋)单调递增；当a<0时，f(x)在单调递增，在单调递减．(2)由题意：ex<有解，即ex1，且x∈(0∞，＋)时ex>1，所以：1－ex<0，即h′(x)<0.故h(x)在[0∞，＋)单调递减，∴h(x)0)上的最小值；(3)对一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围．解(1)由f(x)在点(e，f(e))处的切线方程与直线2x－y＝0平行，得该切线斜率为2，即f′(e)＝2.又 f′(x)＝a(lnx＋1)，∴a(lne＋1)＝2，a＝1，所以f(x)＝xlnx.(2)由(1)知f′(x)＝lnx＋1，显然f′(x)＝0时，x＝e－1，当x∈时，f′(x)<0，所以函数f(x)在上单调递减，当x∈时f′(x)>0，所以函数f(x)在上单调递增，①当∈(n，n＋2]时，f(x)min＝f＝－；②≤当n0，h(x)单调递增，x∈(1,2)，h′(x)<0，h(x)单调递减，x∈(2，e)，h′(x)>0，h(x)单调递增，∴h(x)极大值＝h(1)＝－1，且h(e)＝e－3－2e－1<－1，所以h(x)max＝h(1)＝－1.因为对一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，∴t≥h(x)max＝－1.故实数t的取值范围是[－1∞，＋)．[通关演练B组](建议用时：60分钟)1．已知函数f(x)＝，x∈(1∞，＋)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)函数f(x)在区间[2∞，＋)上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．解(1)f′(x)＝，x∈(1∞，＋)．由f′(x)＝0，得x1＝1，或x2＝2a－1.①当2a－1≤1，即a≤1时，在(1∞，＋)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；②当2a－1>1，即a>1时，在(1,2a－1)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，在(2a－1，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上所述，a≤1时，f(x)的减区间为(1∞，＋)；a>1时，f(x)的增区间为(1,2a－1)，f(x)的减区间为(2a－1∞，＋)．(2)①当a≤1时，由(1)知f(x)在[2∞，＋)上单调递减，不存在最小值；②当a>1时，若2a－1≤2，即a≤时，f(x)在[2∞，＋)上单调递减，不存在最小值；若2a－1>2，即a>时，f(x)在[2,2a－1)上单调递增，在(2a－1∞，＋)上单调递减，因为f(2a－1)＝>0，且当x>2a－1时，x－a>a－1>0，所以当x≥2a－1时，f(x)>0.又因为f(2)＝2－a，所以当2－a≤0，即a≥2时，f(x)有最小值2－a；当2－a>0，即
