第一章：125分组分配问题VIP免费

1.2.5分组分配问题n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。1.把a,b,c,d分成平均两组,有多少种分法？abcdacbdadbcC42C22A223cdbdbcadacab这两个在分组时只能算一个思考2.把a,b,c,d分成平均两组,一组3个元素,一组1个元素,有多少种分法？题型一分组问题例1六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是624222CCC=90(种)，这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233CCCA=15(种)。平均分组问题(2)先分组，方法是615233CCC，那么还要不要除以33A？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233CCC=60(种)分法.非均分问题例1六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.(3)分组方法是642111CCC=30(种)，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是41162122CCCA=15(种).例1六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.部分均分问题一般地平均分成n堆(组)，必须除以n!，如若部分平均分成m堆(组)，必须再除以m!，即平均分组问题，一般地来说，km个不同的元素分成k组，每组m个，则不同的分法有故平均分组要除以分组数的全排列．kkmmmmkmkmACCC)1(种．归纳：1平均分组问题引伸：不平均分配问题：一般来说，把n个不同元素分成k组，每组分别有,,21mmkmm3个，则不同分法为312112()kkmmmmnnmnmmmCCCC种．kmmm21,,21nmmmk互不相等，且且kmmm21,如果中有且仅有i个相等,则不同的分法为：312112()kkmmmmnnmnmmmiiCCCCA种．归纳2非平均分组问题归纳3部分均分问题题型二分配问题例2六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)甲两本、乙两本、丙两本.(2)甲一本、乙两本、丙三本.(3)甲四本、乙一本、丙一本.分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：分别有222642CCC=90(种)，615233CCC=60(种)，411621CCC=30(种)。定向分配问题题型三分配问题例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每人两本.(2)一人一本、一人两本、一人三本.(3)一人四本、一人一本、一人一本.分析：此组题属于分配中的不定向分配问题.由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题.实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以33A，即22264233CCCA33A=90(种)，(2)615233CCC33A=360(种)(3)41162122CCCA33A=90(种)。非定向分配问题归纳：分配问题一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。例4六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至...