25平面向量及其线性运算导学目标：1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．自主梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有______又有______的量叫做向量．（2）表示方法：用来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b…，或用AB，BC…，表示．(3)模：向量的______叫向量的模，记作________或_______．(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．(5)单位向量：长度为____单位长度的向量叫做单位向量．与a平行的单位向量e＝____________.(6)平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量______．(7)相等向量：长度______且方向______的向量．2．向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的，记作，即=AB+BC=，这种求向量和的方法叫做向量加法的.（2）以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线OA就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的.(3)加法运算律a＋b＝________(交换律)；(a＋b)＋c＝____________(结合律)．3．向量的减法及其几何意义(1)相反向量与a____________、____________的向量，叫做a的相反向量，记作______．(2)向量的减法①定义a－b＝a＋________，即减去一个向量相当于加上这个向量的____________．②如图，AB＝a，，AD＝b，则AC＝，DB＝____________.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝______；②当λ>0时，λa与a的方向______；当λ<0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝______.(2)运算律设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝________.(结合律)②(λ＋μ)a＝________.(第一分配律)③λ(a＋b)＝__________.(第二分配律)(3)两个向量共线定理：向量b与a(a≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.5．重要结论PG＝(PA＋PB＋PC)⇔G为△ABC的________；PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的________．自我检测1.（2010·四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC＝16，|，|则|AM|等于()A．8B．4C．2D．12．下列四个命题：①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；②对于实数m和向量a，b(m∈R)，若ma＝mb，则a＝b；③若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n；④若a＝b，b＝c，则a＝c，其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．43.在ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN等于()A．－a＋bB．－a＋bC．a＋bD．－a＋b4.（2010·湖北）已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝m，成立，则m等于()A．2B．3C．4D．55.（2009·安徽）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝______.探究点一平面向量的有关概念辨析例1①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量AB与向量CD共线，则A、B、C、D四点共线；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.以上命题中正确的个数为()A．1B．2C．3D．0变式迁移1下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①|a|＝|b|⇒a＝b；②若a＝b，b＝c，则a＝c；③|a|＝0⇒a＝0；④若A、B、C、D是不共线的四点，则AB＝DC⇔四边形ABCD是平行四边形．探究点二向量的线性运算例2（2011·开封模拟）已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.求证：EF＝(AB＋DC)．变式迁移2（2011·深圳模拟）如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知AB＝a，AD＝b，DC＝c，试用a、b、c表示BC，MN，DN＋CN.探究点三共线向量问题例3如图所示，平行四边形ABCD中，AD＝b，AB＝a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线.变式迁移3...
