空间向量与几何VIP专享VIP免费

3.1空间向量及其运算3.1.5空间向量运算的坐标表示第三章空间向量与立体几何复习巩固若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.1.空间向量基本定理:xyzOe2e1e3p若p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称为向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z).2.空间向量的坐标表示:练习：如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC的夹角的余弦值.OABC24162322cos,855||||OABCOABCOABC���8645探究（一）：向量运算的坐标表示设{i，j，k}为单位正交基底，向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)a-b＝(x1-x2，y1-y2，z1-z2)设{i，j，k}为单位正交基底，向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).λa＝(λx1，λy1，λz1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2x1x2＋y1y2＋z1z2＝0//abrr设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).ablÛ=rr121212,,xxyyzzlllÛ===ab^rr0abÛ×=rrÛ222111||axyz=++rcos,||||ababab×<>=rrrrurr121212222222111222xxyyzzxyzxyz++=++++若（，，）111axyz=r若点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，ABuuur若，APPBl=uuuruuur121212(,,)111xxyyzzPllllll++++++222212121()()()ABdxxyyzz=-+-+-已知A(，，）,111xyz1(1)则点A(，，）关于xoy平面的对称()-点A，，;111111xyzyxz1(2)则点A(，，）关于yoz平面的对称点A(，，-);111111xyzxyz1(3)则点A(，，）关于xoz平面的对称-点A(，，);111111xyxzyz已知A(，，）,111xyz4(4)则点A(，，）关于x轴的对称点A，)-;-(，111111xxyzyz5(5)则点A(，，）关于y轴-的对称点A，，);-(111111xzzyyx6(6)则点A(，）关于z轴的对称点A(，)。，-，-111111xxzyzy例1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求异面直线BE与DF所成角的余弦值.例题讲解xyzEABCA1FB1C1D1D15cos,17BEDF=uuuruuur例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是BB1，B1D1的中点，求证：EF⊥A1D.xyzEABCA1B1C1D1DF1.空间向量的坐标运算是在空间向量基本定理和空间向量的坐标表示的基础上建立起来的理论，它与平面向量的坐标运算的算法原理是一致的，其不同点体现在空间向量是三维坐标运算，平面向量是二维坐标运算.小结作业2.求空间向量的坐标有几何法、差向量法、待定系数法等，若向量的起点在原点，一般用几何法；若向量的起点和终点是一些特殊点，一般用差向量法，即终点坐标减起点坐标；若向量的具体位置不确定，一般用待定系数法.3.对立体几何中的某些证明或计算问题，如果图形中有三条互相垂直的直线，可以建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.作业：P97练习：1，2，3.《学海》第5课时P98：6-10.