正弦定理（）VIP专享VIP免费

第一章:解三角形1.问题的引入:.(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢？.B.C.A如何测定河岸如何测定河岸AA点到对岸点到对岸BB点的距离点的距离把实际问题转化为数学问题：已知三角形的两个角和一条边，求另一条边。在岸边选定基线在岸边选定基线ACAC，，并测得并测得ACAC的长及的长及∠∠ACBACB、、∠∠BACBAC的度的度数，由此求出数，由此求出AA、、BB两点的距离两点的距离..回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcbasinacA两等式间有联系吗？sinsinabcABsin1CsinsinsinabcABC思考:对一般的三角形,这个结论还能成立吗?2.定理的推导sinbcB(1)当是锐角三角形时,结论是否还成立呢?ABCD如图:作AB上的高是CD,根椐三角形的定义,得到.sinsinbcAEBCBC同理,作有sinsinsinabcABCsin,sinCDaBCDbAsinsinaBbA所以sinsinabAB得到BACabcE综上知，结论成立．CCbADsinsin）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D(2)若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有cADBsin交BC延长线于D,过点A作ADBC⊥，CAcbB图2结论成立吗？CcBbAasinsinsin3.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即含三角形的三边及三内角,由己知二角一边或二边一角可表示其它的边和角定理结构特征:OC/cbaCBA.2sin2sinsin,90''RCcRcCCCCCBARCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作三角形ABC外接圆O,半径R.过B作直径BC/,连AC/,AasinBbsinCcsin＝＝（2R为△ABC外接圆直径）＝2R正弦定理：剖析定理、加深理解sinsinsinabcABC1、A+B+C=π2、大角对大边，大边对大角正弦定理：R2剖析定理、加深理解3、正弦定理可以解决三角形中的问题：①已知两角和一边，求其他角和边②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角sinsinsinabcABC正弦定理：R2剖析定理、加深理解4、一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形sinsinsinabcABC正弦定理：R2剖析定理、加深理解5、正弦定理的变形形式6、正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化sinsinsinabcABC正弦定理：R2定理的应用例1在△ABC中，已知a=42.9,A=32。,B=81.8。解三角形.解：而66.2B)(A180C∴c=ACasinsin74.1=30sin2.66sin9.42已知两角和任意边，求其他两边和一角BbAasinsin∵∴b=ABasinsin=1.8032sin8.81sin9.42BACbcaCcsin小结:已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角;(2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边.注意:若已知角不是特殊角时,往往先求出正弦值(这时应注意角的拆并,即将非特殊角转化为特殊角的和或差,如),再根据上述思路求解.754530在△ABC中，已知A=75°，B=45°，c=求a，b.231:4P自学练习：：变式1例2、在△ABC中，已知20ab=28A=40求B(精确到1)和c（保留两个有效数字）8999.02040sin28sinsin0aAbB解：.116,640201BB.76)4064(180)(180,64000010101ABCB时当.3040sin76sin20sinsin0011ACac.24)40116(180)(180,116000020202ABCB时当.1340sin24sin20sinsin0022ACacACB1abB2D已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。大角对大边大边对大角小结:已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一;(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.变式2:00(1)45,2,2,103(2)60,4,,3ABCAabBABCAabB在中，已知求在中，已知求B=300无解(3)、△ABC中，B=30°，c=5，b=5，则△ABC的形状是（）A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰或直角三角形D2:4P自学练习：3•正弦定理•主要应用sinsinsinabcABC(1)已知两角及任意一边，可以求出其他两边和另一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、无解）1.1.1正弦定理小结:R2课后探究:推导正弦定理作业：P10：1，2