第三讲 充满活力的韦达定理知识纵横 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是由于该定理是由 16 世纪法国最杰出的数学家韦达发现的． 韦达定理简朴的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，重要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 运用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特性； 运用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等． 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是运用韦达定理解题的基本思绪．韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．例题求解【 例 1 】 (1) 已 知是 方 程的 两 个 实 数 根 ， 且，那么实数 m 的取值范围是_________（河南省中考题）(2) 已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 （绍兴市竞赛题） 思绪点拨 对于（1），运用根与系数关系建立 m 的不等式，但要注意判别式的制约；对于（2） 所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为基本对称式解。【例 2】假如方程 的三根可以作为一个三角形的三边线之长，那么，实数 m 的取值范围是( ) A． B． C． D．（全国初中数学联赛题）思绪点拨 设方程的根分别为 1、，由三角形三边关系定理、韦达定理建立 m 的不等式组。 【例 3】 已知关于的方程： (1)求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．(2)若这个方程的两个实根、满足，求 m 的值及相应的、．（苏州市中考题）思绪点拨 对于(2)，先鉴定、的符号特性，并从分类讨论入手．【例 4】 设、是方程的两个实数根，当 m 为什么值时，有最小值?并求出这个最小值． （第 16 届江苏省竞赛题） 思绪点拨 运用根与系数关系把待求式用 m 的代数式表达，再从 配方法入手 ，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的．注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0 这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．根的分布【例 5】为实数，ac<0,且证明一元二次方程 有大于而小于 1 的根。（全国初中数学联赛题）学历训练基础务实 1．方程的两个实数根分别为 ． （烟台市中考题）2．已知关于 x 的方程有两个实数根，且 ． （淮安市中考题）3. 设、是 方 程 的...
