高三数学（理）函数的奇偶性、单调性、周期性人教版【本讲教育信息】一.教学内容：函数的奇偶性、单调性、周期性二.教学重、难点：了解函数奇偶性、单调性、周期性的概念，了解周期函数最小正周期的意义，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法，能利用函数的单调性解决函数的有关问题。【典型例题】[例1]定义在R上的函数满足对任意恒有，且不恒为0。（1）求和的值；（2）试判断的奇偶性，并加以证明；（3）若时为增函数，求满足不等式的的取值集合。解析：（1）令，得∴令，得∴（2）令，由，得又∴又 不恒为0∴为偶函数（3）由知又由（2）知∴又 在上为增函数∴故的取值集合为[例2]设函数在上满足，，且在闭区间[0，7]上，只有。（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。解析：（1）由，得函数的对称轴为∴而，即不是偶函数又 在[0，7]上只有∴从而知函数不是奇函数故函数是非奇非偶函数（2）从而知函数的周期为T=10又∴故在[0，10]和上均有2个根，从而可知函数在[0，2000]上有400个根，在[2000，2005]上有2个根，在上有400个根，在上没有根。∴函数在上有802个根。[例3]函数是以4为周期的周期函数，且当时，，则当时，试求的解析式。解析：因为是以4为周期的函数，所以，（1）当为奇数时，为4的倍数。当时，，所以，于是有。（2）当为偶数时，可以知道为4的倍数，当时，有，于是从而有当时，有于是有，所以综合（1）（2）可以得到：当为奇数时，，当为偶数时，[例4]定义在R上的函数，，当时，，且对任意的，有。（1）证明；（2）证明对任意的，恒有；（3）证明是R上的增函数；（4）若，求的取值范围。解析：（1）证明：令，则又∴（2）证明：当时，∴∴又时∴时恒有（3）证明：设，则∴ ∴又∴∴∴是R上的增函数（4）由，，得又是R上的增函数∴∴[例5]已知函数，其中，为自然对数的底数。（1）讨论函数的单调性；（2）求函数在区间[0，1]上的最大值。解析：（1）①当时，令，得若，则，从而在（0，+）上单调递增若，则，从而在（）上单调递减②当时，令，得，故或若，则，从而在（）上单调递减若，则，从而在（0，）上单调递增若，则，从而在（）上单调递减（2）①当时，在区间上的最大值是1②当时，在区间[0，1]上的最大值是③当时，在区间[0，1]上的最大值是[例6]是否存在常数，使函数在上是减函数且在上是增函数？解：方法一：设，则原函数转化为那么问题就等价于是否存在常数，使函数在上是减函数且在上是增函数，根据二次函数的性质，知只需，即。方法二：由题意知为函数的一个极值点 由，得，此时，故当时，，为减函数；当时，，为增函数∴适合题意方法三：任取，则由在上是减函数可知，对任意的，恒成立∴有恒成立，即恒成立∴因此，当时，恒成立，即当时，函数在上是减函数仿上可得当时，函数在上是增函数故存在常数，使函数在上是减函数，且在上是增函数[例7]设函数的图象上一点P（）处切线的斜率为。（1）若方程有两个实根分别为，且，求证：（2）若在区间上是单调递减函数，求的最小值。分析：根据导数的几何意义知（1）证明：由已知得是方程的两个实根根据韦达定理得又 ∴∴∴（2）解：在区间[上是单调递减函数∴在上恒有，即恒成立从而当时，的最小值为13【模拟试题】一.选择题：1.已知函数是一个以4为最小正周期的奇函数，则等于（）A.0B.C.4D.不能确定2.设函数是定义在R上，周期为3的奇函数，若，则（）A.且B.C.或D.3.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A.B.C.D.4.设是定义在R上以6为周期的函数，在（0，3）内单调递减，且的图象关于直线对称，则下面正确的结论是（）A.B.C.D.5.对任意实数，定义为不大于的最大整数（例如等），设函数，给出下列四个结论：①；②；③是周期函数；④是偶函数，其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.46.若，，定义：，例如。则函数的奇偶性是（）A.是偶函数不是奇函数B.是奇函数不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数7.函数（）A.在上递增，在上递减B.在上递增，在上递减C.在，上递增，在上递减D.在上递增，在上递减8.若函数在...
