函数学习中的数学思想一些重要的数学思想在函数学习中有着广泛的应用，在学习时要注意归纳总结．1．数形结合的思想函数的图象能直观地显示函数的性质，借助于图象来研究、解决有关函数的问题是数形结合应用的一个重要方面．在解不等式、判断方程是否有解、解的个数及二次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．例1已知0c，下列不等式中成立的是（）．Ａ．2ccＢ．12ccＣ．122ccＤ．122cc解析：在同一坐标系中分别作出yx，12xy，2xy的图象，如右图所示，显然0x时，122xxx，即0c时，122ccc．2．分类讨论的思想在函数这一部分经常涉及到分类讨论的情形，特别是在研究含参数的二次函数在部分区间上的最值问题及在研究函数的单调性等问题时，一般需用分类讨论的思想方法．例2已知函数2()(21)3fxaxax在区间322，上的最大值为1，求实数a的值．解：当0a时，()3fxx，()fx在322，上不能取得１，故0a．∴2()(21)3(0)fxaxaxa的对称轴方程为0122axa．（1）令312f，解得103a，此时02332202x，，∵0a，∴0()fx最大，∴312f不合题意；（2）令(2)1f，解得34a，此时013232x，，∵304a，∴(2)1f为最大值；用心爱心专心（3）令0()1fx，解得1(322)2a，验证后知只有1(322)2a符合题意．综上所述，34a，或1(322)2a．3．转化与化归的思想在解恒成立及复合函数等问题时，往往可以把问题转化为指数函数、对数函数、二次函数、幂函数等我们熟悉的函数去研究，将复杂的问题分解、归结为简单问题．例3已知函数22()xxafxx，[1)x，，若对任意[1)x，，()0fx恒成立，试求实数a的取值范围．解：在区间[1)，上，22()0xxafxx恒成立220xxa恒成立．设22yxxa，[1)x，，∵222(1)1yxxaxa在[1)x，上递增，∴当1x时，min3ya，即当min30ya时，函数()0fx恒成立，故3a．例4设函数()yfx定义在R上，则函数(1)yfx与(1)yfx的图象关于（）．Ａ．直线0y对称Ｂ．直线0x对称Ｃ．直线1y对称Ｄ．直线1x对称解析：使抽象问题具体化，取2()fxx，则2(1)(1)fxx，2(1)(1)fxx．此时，两函数的图象重合，且关于直线1x对称，故选（Ｄ）．4．换元思想例5求函数12yxx的值域．解析：令12(0)txt≥，则212tx，∴2211(1)122tytt，∵0t≥，∴当0t时，y的最大值为12．用心爱心专心∴函数的值域为1，2．5．函数与方程的思想函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．方程思想是从问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的组合），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．函数与方程思想是中学数学的基本思想方法，是一种重要的数学观念，它不仅仅是一种具体的解题方法，而且是解题思维的导航器．例6设abcR，，，且它们的绝对值都不大于１，求证10abbcca≥．分析：构造函数()1faabbcca，()fa是关于a的一次函数，由于[11]a，，只要证明(1)0f≥且(1)0f≥，就能证明()0fa≥．证明：设()()1fabcabc，()fa是关于a的一次函数，∵[11]abc，，，，∴(1)1(1)(1)(1)(1)0fbcbcbccbc≥，(1)1(1)(1)(1)(1)0fbcbcbccbc≥，∴()fa在[11]，上非负，∴10abbcca≥．评注：本题解法的关键在于要具有函数意识，能结合式子的特征构造出一次函数()fa，从而由一次函数的图象性质，使问题得到解决．用心爱心专心
