2015年温州中学自主招生数学模拟试卷一、选择题（每小题5分，共30分）1、如图是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）．将它们拼成如图的新几何体，则该新几何体的体积为（）cm3．A、48B、50C、58D、602、已知实数满足，，则的最大值是（）A、1B、C、2D、3、如图1，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝10，E、F分别为矩形ABCD外的两点，BE＝DF＝4，AF＝CE＝3，则EF＝（）A、B、C、D、4、如图2，已知O为坐标原点，位于第一象限的点A在反比例函数的图象上，位于第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，则（）A、B、C、D、5、如果方程的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数的值为（）A、3B、4C、5D、66、用表示不超过实数的最大整数，如。若正整数满足，则称为“好数”，那么在1～2014这2014个正整数中好数有（）A、B、C、D、图1EFCDABxy图2BOA二、填空题（每小题6分，共48分）7、已知，则______。8、关于的不等式的解集为全体实数，则实数应满足的条件为_______。9、已知是质数，均为整数，则方程的解的个数是_______。10、已知均为实数，代数式取最小值时，则__________。11、如图3，两个同心圆O，小圆的半径为1，大圆的半径为，点A为小圆上的动点，P、Q是大圆上的两个动点，且AP⊥AQ，则PQ的长的最大值是_________。12、如图4，在直角坐标系中，圆O是以坐标原点为圆心，半径为1的圆，直线的方程为，在L上任取一点P作圆O的切线，切点为T，则PT长的最小值是_________。13、由数字1，2，3，4，5，6，7组成一个无重复数字的七位正整数，从中任取一个，所取的数满足首位为1且任意相邻两位的数字之差的绝对值不大于2的概率等于_______。14、设是一个边长为的三角形，其面积为；记是由原三角形的三条高组成的三角形，其面积记为；进一步，记是由三角形的三条高组成的三角形，其面积记为，已知，，则的值为_______。图3QOAPxy图4TP3-31O图5GOEABC2015年温州中学自主招生数学模拟试卷答题卷一、选择题（每小题5分，共30分）题号123456答案二、填空题（每小题6分，共48分）7、_________8、_________9、_________10、_________11、_________12、_________12、_________13、_________14、_________三、解答题（本大题共5小题，满分72分，其中15、16、17各12分、18、19各18分）15、二元二次方程组有两个实数解和，其中，且，求常数的值。16、如图5，在锐角△ABC中，∠A＝，AB＞AC，O、G分别为△ABC的外心和重心，E为边BC的三等分点，且CE＝2BE。证明：∠OGE＝。17、正整数满足：，，求的值。18、已知为实数，若关于的不等式的解为，求的取值范围。19、如图，已知BE、CF是锐角△ABC的两条高，经过A、F的两个圆分别与BC相切于点P、Q，点B位于C、Q之间。证明PE与QF的交点X在△AEF的外接圆上。XPFECABQ2015年温州中学自主招生数学模拟试卷参考答案姓名______________一、选择题（每小题5分，共30分）题号123456答案DACABB6、解：设，则，于是，，又由，故，符合条件的有40个，即符合条件的好数有40个。二、填空题（每小题6分，共48分）7、____1_____8、______9、____5_____10、_____3___11、____4_____12、__________13、_________14、____45_____9、【解析】由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件是字1，2，3，4，5，6，7组成一个无重复数字的七位正整数，共有A77种结果，满足条件的事件是首位为1且任意相邻两位的数字之差的绝对值不大于2，对于数字1234567，以这个为标准，在这个数字基础上变化出符合条件的数字，满足条件的有1234567，1234576，1234657，1234675，1235467，1235764图5GOEABC，1243567，1243576，1324567，1324576，1324657，1324675，1246753，1357642共14种结果，∴要求的概率是，故答案为。14、因为，且，所以，，故∽，相似比为，故，所以，。三、解答题（本大题共5小题，满分72分，其中15、16、17各12分、18、19各18分）15、二元二次方程组有两个实数解和，其中，且，求常数的值。解：把代入，得；（5分）由方程组，消去，得，由韦达定理得，从而，（12分）16、如图5，在锐角△ABC中，∠A＝，AB＞AC，O、G分别为△ABC的外心...
