高三数学第一轮复习：线面的位置关系人教版知识精讲VIP专享VIP免费

高三数学第一轮复习：线面的位置关系人教版【本讲教育信息】一.教学内容：线面的位置关系二.知识总结：直线与平面的位置关系1.直线在平面内——直线与平面有无数个公共点2.直线在平面外（1）直线与平面相交——直线与平面有且仅有一个公共点①直线与平面直交（垂直）②直线与平面斜交（不垂直）（2）直线与平面平行——直线与平面没有公共点（一）直线与平面平行的判定和性质1.判定依据（1）线面平行的定义（2）线面平行的判定定理（又称线线平行则线面平行）（3）面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面2.判定方法（1）证明这直线与这平面没有公共点（2）证明这直线与这平面内的某条直线平行（3）证明这直线所在平面与这平面平行（4）证明这直线上有在平面同旁的两点到这个平面距离相等3.性质（二）直线和平面垂直的判定和性质1.知识提要（1）直线和平面垂直的定义如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，就称这条直线和这个平面互相垂直。（2）直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（3）两两平面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。2.方法提要：判定直线垂直平面的方法（1）证明这直线与平面内两条相交直线都垂直（2）证明这直线与平面的一条垂线平行（3）证明这直线所在平面垂直该平面，并且这直线垂直于两平面的交线（4）证明这直线垂直于另一个平面，而这个平面与已知平面互相平行（5）证明直线是这平面的两个相交垂面的交线【典型例题】[例1]已知：正方形ABCD与正方形ADEF所在平面相交，M、N分别是BD、AE内的动点，且用心爱心专心BM=AN，求证：MN//平面CED。证明：连结AM并延长交CD于G，连结GE由AB//CD[例2]设S是平行四边形ABCD所在平面外一点，P、Q、R分别是SC、SB、SD上的点，且，求证：SA//平面PQR。证：如图，设，则O为AC的中点，连结SO设，由取SC中点M，连结OM、KP由[例3]正三棱柱中，。D、F分别为CC1，A1B中点（1）证明：DF//平面ABC；（2）证明：AF⊥BD；（3）求平面A1BD与ABC所成的锐二面角（1）证明：取AB中点M，连FM、CM用心爱心专心（2）证明：（3）法1：法2：延长AC交A1D延长线于G，连BG，由CG=AC=BC又AA1⊥面ABC为所求二面角平面角[例4]如图，在正三棱柱中，，求证：，。证法1：如图，延长B1C1到，使，连结，则在中，由同理证法2：（利用三垂线Th及其逆Th）如图，取AB的中点为D，A1B1的中点为D1，则BD1//A1D同理面A1B1BA，同理A1C⊥BC1用心爱心专心[例5]如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，且PA=AB，C是圆周上一点（异于A、B），E是PB的中点，F是PC上的点，且AF⊥PC，求证：PB平面AEF。证：[例6]已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC于F。（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD。证明：（1）由已知，SA⊥平面AC（2）证明：用心爱心专心[例7]斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB、AC都成角，求异面直线与BC的距离。解：由在面ABC上的射影H在的平分线上连AH延长交BC于D，则AD是的平分线作DE⊥AA1于E，则DE即异面直线AA1与BC的公垂线段又由∴∴在中，即与BC的距离为[例8]已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG距离。解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC设，到面EFG的距离与点B到面EFG距离相等点O到面EFG的距离与B到面EFG的距离相等由用心爱心专心由GC=2，，则另法（体积变换）解法2：设点B到面EFG的距离为，则为三棱锥B－EFG的高，由三棱锥与三棱锥为同一四面体，故它们体积相等，即：而故所以，点B到平面EFG的距离为小结：点到面的距离有直接和间接两类方法，直接法即作出点面垂线段并求它的长；而间接法是把点面距离看成一个几何体的高，再利用体积变换方法求出这个高的值，通常情况下，由于间接法无需确定垂足的位置，因此较为简便。[例9]如图，四棱锥中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD=AB=1，G为重心，则PG与底面所成角为（）A.B.C.D.解：...