高三数学第一轮复习：空间角与空间距离的计算【本讲主要内容】空间角与空间距离的计算空间直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的大小，直线与直线、直线与平面、平面与平面间的距离的求解【知识掌握】【知识点精析】空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．1.空间的角的概念及计算方法（1）空间角概念——空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如①两异面直线所成的角θ∈（0，）②直线与平面所成的角θ∈[0，]③二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈（0，π）．说明：对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步提高运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．（2）空间的角的计算方法①求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；②求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；③求二面角－l－的平面角（记作）通常有以下几种方法：（ⅰ）根据定义；（ⅱ）过棱l上任一点O作棱l的垂面，设∩＝OA，∩＝OB，则∠AOB＝（图1）；（ⅲ）利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A，分别作另一个平面的垂线AB（垂足为B），或棱l的垂线AC（垂足为C），连结AC，则∠ACB＝或∠ACB＝－（图2）；（ⅳ）设A为平面外任一点，AB⊥，垂足为B，AC⊥，垂足为C，则∠BAC＝或∠BAC＝用心爱心专心－（图3）；（ⅴ）利用面积射影定理，设平面内的平面图形F的面积为S，F在平面内的射影图形的面积为S‘，则cos＝．2.空间的距离问题（1）空间各种距离是对点、线、面组成的空间图形位置关系进行定量分析的重要概念．空间距离是指两点间距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离以及面面距离等，距离都要转化为两点间距离即线段长来计算，在实际题型中，这六种距离的重点和难点是求点到平面的距离，因线线距离、线面距离和面面距离除用定义能直接计算出结果的外，都要转化为求点到平面的距离进行计算．（2）空间的距离问题主要是：求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．（3）求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值．此外，我们还常用体积法或向量法求点到平面的距离．【解题方法指导】例1.三棱锥P-ABC中，∠ABC＝，PA＝1，AB＝，AC＝2，PA⊥平面ABC.（1）求直线AB与直线PC所成的角；（2）求PC和面ABC所成的角；（3）求二面角A-PC-B的大小．解：（1）作矩形ABCD.∴AB和PC所成角即为CD和PC所成角，且CD⊥PD．CD＝，AD＝1，PD＝，tanPCD＝.故AB和PC所成角为用心爱心专心（2） PA⊥面ABC，PC和面ABC所成角即为∠ACP，求得tanACP＝，∴∠ACP＝（3） PA⊥面ABC，∴面PAC⊥面ABC，过B作BG⊥AC于G，则BG⊥面PAC.过G作GH⊥PC于H，连接BH，则BH⊥PC．∴∠BHG为二面角A-PC-B的平面角．在Rt△ABC与Rt△PBC中，PB＝2，BC＝1，AC＝2，AB＝∴PC＝∴BH＝，BG＝．∴sinBHG＝∴∠BHG＝arcsin．故二面角A-PC-B的大小为arcsin．例2.在正三棱柱中，各棱长都等于a，D、E分别是、的中点，（1）求证：DE是异面直线与的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面AEC的距离．解：（1）取AC中点F，连接DF． D是的中点，∴DF∥，且．又，E是的中点，∴DF∥BE，DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE∥BF，DE＝BF． ⊥面ABC，面ABC，∴⊥BF．又 F是AC的中点，△ABC是正三角形，用心爱心专心∴BF⊥AC，． ⊥BF，∥，∴BF⊥，∴BF⊥面，又 面...
