高三数学第一轮复习：直线方程与两直线的位置关系知识精讲VIP专享VIP免费

高三数学第一轮复习：直线方程与两直线的位置关系【本讲主要内容】直线方程与两直线的位置关系直线斜率的概念、直线方程的几种形式、两条直线的位置关系、两条相交直线的夹角和到角公式、点到直线距离公式。【知识掌握】【知识点精析】1.直线斜率的概念：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0º。因此，直线的倾斜角α的取值范围是0º≤α＜180º。（2）直线的斜率：倾斜角α≠90º的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα(α≠90º)。（3）直线的方向向量：设F1(x1，y1)、F2(x2，y2)是直线上不同的两点，则向量=(x2-x1，y2-y1)称为直线的方向向量。向量=(1，)=(1，k)也是该直线的方向向量，k是直线的斜率。（4）求直线斜率的方法：①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90º，则斜率k=tanα②公式法：已知直线过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，且x1≠x2，则斜率k=③方向向量法：若=(m，n)为直线的方向向量，则直线的斜率为k=说明：平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。斜率的图象如图：2.直线方程的几种形式：（1）点斜式：，其特例是：（斜截式）；（2）两点式：，其特例是：（截距式）；用心爱心专心（3）一般式：（A、B不同时为0）说明：使用直线方程时，要注意限制条件。如点斜式的使用条件是直线必须存在斜率；截距式的使用条件是两截距都存在且不为0；两点式的使用条件是直线不与x轴垂直，也不与y轴垂直。3.两条直线的位置关系：（1）当直线方程为、时，若∥，则；若、重合，则；若⊥，则。（2）当两直线方程为时，若∥，则；若、重合，则；若⊥，则。说明：利用斜率来判断两条直线的位置关系时，必须是在两直线斜率都存在的前提下才行，否则就会得出错误结论，而利用两条直线的一般式方程的系数来判断就不易出错。例如：已知直线与直线互相垂直，则实数的值为（）A.-1或2B.-1或-2C.1或2D.1或-2解析：⊥，故选B。4.点到直线的距离、直线到直线的距离：（1）点P到直线的距离为：（2）当∥，且直线方程分别为时，两直线间的距离为：5.两直线的夹角：若直线、的斜率分别为，则（1）直线到的角满足：（2）直线、所成的角（简称夹角）满足：若直线、的斜率至少有一个不存在时，可根据图象直接求出所求的角。6.两直线的交点：用心爱心专心两直线的交点的个数取决于由两直线组成的方程组的解的个数。7.对称问题：（1）中心对称：设平面上两点关于点对称，则点的坐标满足：；若一个图形与另一个图形上任一对对应点满足这种关系，那么这两个图形关于点A对称。（2）轴对称：①设平面上有直线和两点，若满足下列两个条件：（ⅰ）PP1⊥直线；（ⅱ）PP1的中点在直线上，则点关于直线对称；若一个图形与另一个图形上任意一对对应点满足这种关系，那么这两个图形关于直线对称。②对称轴是特殊直线的对称问题：对称轴是特殊直线的对称问题可直接通过代换求解：（ⅰ）关于轴对称，以代；（ⅱ）关于轴对称，以代；（ⅲ）关于直线对称，、互换；（ⅳ）关于直线对称，以代，同时以代；（ⅴ）关于直线对称，以代；（ⅵ）关于直线对称，以代；③对称轴是一般直线的对称问题，可根据对称的意义，由垂直平分列方程找到坐标之间的关系：设点关于直线对称则【解题方法指导】例1.若为三角形中最大内角，则直线的倾斜角的范围是（）A.B.C.D.解析： 是三角形中的最大内角，∴≤＜，∴直线的斜率用心爱心专心∴它的倾斜角的范围是评述：若已知斜率的取值范围，要求倾斜角的范围时，应利用“正切函数在和上均递增”这一性质来求解。例2.已知直线和点，过点做直线与已知直线l1相交于点，且，求直线的方程。解析：过点与轴平行的直线为，解方程求得点坐标为，此时，即为所求设过且与轴不平行的直线为：解方程组得两直线交点为（，否则与已知直线平行）由已知解得，∴即为所求评述：利用待定系数法设直线方程时可能由于所用方程的形式，设出时就漏掉了斜率不存在的一...