高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程知识精讲VIP专享VIP免费

高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】椭圆的定义、性质及标准方程椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1.椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。⑵第二定义：动点到定点的距离和它到定直线的距离之比等于常数，则动点的轨迹叫做椭圆。定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数叫做椭圆的离心率。说明：①若常数等于，则动点轨迹是线段。②若常数小于，则动点轨迹不存在。2.椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上图形范围顶点对称轴轴、轴；长轴长，短轴长；焦点在长轴上轴、轴；长轴长，短轴长；焦点在长轴上焦点焦距离心率用心爱心专心准线参数方程与普通方程的参数方程为的参数方程为3.焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。焦半径公式：椭圆焦点在轴上时，设分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任一点，则，。推导过程：由第二定义得（为点到左准线的距离），则；同理得。简记为：左“＋”右“－”。由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。【解题方法指导】例1.根据下列条件求椭圆的标准方程：⑴两准线间的距离为，焦距为；⑵与椭圆共准线，且离心率为；⑶已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为，过作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。解析：⑴设椭圆长轴长为，短轴长为，焦距长为，则，用心爱心专心解得，∴所求椭圆方程为或。⑵设椭圆方程为，则其准线为，∴，解得，∴所求椭圆方程为。⑶，∴.由，得，∴所求椭圆方程为或.评述：设椭圆标准方程，若焦点在轴上，则为；若焦点在轴上，则为。有时为了运算方便，设。例2.如图所示，已知点的坐标是，为椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当取最小值时，求点的坐标，并求其最小值。解析：由椭圆方程可知，则，椭圆的右准线方程为。过点作于点，过点作于点，根据椭圆的第二定义知，，用心爱心专心∴，，易知当在同一条直线上时，即当与点重合时，才能取得最小值，最小值为，此时点的纵坐标为，代入椭圆方程得。因此当点运动到处时，取最小值为９。评述：此题的关键是将所求表达式根据椭圆的第二定义转化成求线段长的最值问题，共线和最小，差最大。例3.中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆与直线交于两点，为的中点，直线（为原点）的斜率为，且，求椭圆的方程。解析：设，。由，∴，∴，∴， ，∴① ，∴，∴， ，∴，∴，∴②由①②得，∴所求方程为。评述：直线与椭圆相交的问题，通常采用设而不求，即设出，但不是真的求出，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题。由得是解决本题的关键。【考点突破】【考点指要】椭圆部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握椭圆的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是５分。考查通常分为四个层次：层次一：考查椭圆定义的应用；用心爱心专心层次二：考查椭圆标准方程的求法；层次三：考查椭圆的几何性质的应用；层次四：考查椭圆与平面向量等知识的综合问题。解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。【典型例题分析】例4.（2006全国Ⅱ）已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（）A.B.6C.D.12答案：C解析：设椭圆的另一个焦点为，则点在边上.由题意知，又，∴的周长.评述：本题考查椭圆的第一定义。题目中出现椭圆上的点与焦点的连线时，常用第一定义解决。例5.（2006上海）已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿。答案：解析：由椭圆中心在原点，一个焦点为，可知椭圆的焦点落在轴上且， ，∴，又，解得，故椭圆的标准方程为。评述：本题已知椭圆是标准状态，且焦点落在轴上，所以要写出方程，只要求出两个给定系数即可。已知和的关系，根据即可求得...