高三数学第一轮复习：向量的基本运算全国通用【本讲主要内容】一.本周教学内容：向量的基本运算向量的概念、加减法、实数与向量的积【知识掌握】【知识点精析】1.向量是数形结合的典范。向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。还有重要的一点就是向量的有关结论与方法可以不加修改的推广到三维空间，因此向量法也是解决立体几何问题的重要方法。2.向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。因此向量有两要素：大小及方向。（2）表示方法：用有向线段来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向。用字母a，b，…或用，，…表示。（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或||。（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定。（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量。（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线。（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量。注意到零向量、单位向量仅仅对其长度作了限制，所以零向量的方向是不确定的，而单位向量由于其方向可变，故单位向量有无数多个。3.向量的每一种运算都有三种表现形式：图形语言、符号语言、代数语言。我们应熟练掌握三种平面向量语言之间的互化（向量的代数语言（坐标运算）放在下一讲中）向量加减法则：三角形法则或平行四边形法则；+=-=+=实数与向量乘积的几何意义——共线；=λλ∈R定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线如图，设，则定比分点向量式：用心爱心专心特例：当λ=1时，就得到向量的中点公式：，实际上，对于起点相同，终点共线三个向量，，（O与P1P2不共线），总有=u+v，u+v=1，u、v∈R。即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。剖析： 点P在P1P2上，可知与共线，得=t。再用以O为起点的向量表示。证明： P在P1P2上，∴与共线∴=t，∴－=t（－）。∴=+t－t=（1－t）+t。设1－t=u，t=v，则=u+v，u+v=1，u、v∈R。评述：本例的重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用。深化拓展本题也可变为，、不共线，若=u+v，u+v=1，u、v∈R，求证：P1、P2、P三点共线。(提示：证明与共线)4.运算律加法：+=+，(+)+=+(+)实数与向量的乘积：λ(+)=λ+λ；(λ+μ)=λ+μ，λ(μ)=(λμ)说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则。5.重要定理、公式1o平面向量基本定理；如果+是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，满足=λ1+λ2，称λ1+λ2为，的线性组合。2o两个向量平行的充要条件符号语言：若∥，≠，则=λ在这里，实数λ是唯一存在的，当与同向时，λ>0；当与异向时，λ<0。用心爱心专心|λ|=，λ的大小由及的大小确定。因此，当，确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。【典型例题分析】例1.如图，G是△ABC的重心，求证：++=0。剖析：要证++=0，只需证+=－，即只需证+与互为相反的向量。证明：以向量、为邻边作平行四边形GBEC，则+==2。又由G为△ABC的重心知=2，从而=－2。∴++=－2+2=0。评述：向量的加法可以用几何法进行。正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用向量处理问题的优越性。例2.在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记=，=，用，表示向量。解题思路分析： B、P、M共线∴记=s∴①同理，记∴=②用心爱心专心 ，不共线∴由①②得解之得：∴说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程，这是待定系数法的绝佳应用！是使用向量工具解决问题的重要思想方法，同学们一定要仔细品味，掌握其中要点与变形技巧。【考点突破】【考点指要】高考考纲要求（1）理解向量的概念，掌握向量的几...
