高三数学第一轮复习：函数（一）（理）人教实验A版【本讲教育信息】一.教学内容：函数（一）二.重点、难点：1.对应、映射一一映射、逆映射2.定义域（1）分母不为0（2）无意义（3）偶次根式内部非负（4）对数真数大于0（5）对数底数大于0且不等于13.解析式求法（1）待定系数法（2）换元法（3）方程法4.值域的求法（1）基本函数法（2）图象法（3）单调性法（4）复合函数（5）分离常数法（6）换元法（7）三角代换（8）判别式（9）导数法【典型例题】[例1]求函数的定义域答案：[例2]函数的定义域恰为（）求实数。答案：原题不等式的解为令不等式的解恰为（）∴[例3]，求答案：换元法令代回用心爱心专心∴∴[例4]偶函数，奇函数，且，求答案：方程法[例5]过A（1，4）且，求。答案：待定系数法∴∴[例6]求下列函数值域（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）用心爱心专心（16）答案：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）∴（9）用心爱心专心（10）且且且（11）令（12）令（13）令∴（14）①②且∴（15）用心爱心专心（16）P（）A（5，5）B（0，5）∴∴[例7]设A=R，B=R，：是A→B的映射。（1）设，则在B中的象是什么？（2）设，若在映射下的象为5，则S应是多少？在映射下的象是什么？解析：（1） ，而：是A→B的映射∴在B中的象为，即：（2） ，∴，即是集合A中的元素，且有：又在集合B中的象为5，∴，解得。同理可得s在映射下在集合B中的象是6。[例8]已知定义域为R的函数满足（1）若，求；又若，求；（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式。解析：（1）因为对任意，有，所以，又由，得，即若，则，即（2）因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意，有，在上式中令，用心爱心专心有，又因为，故或若，则，即但方程有两个不同实根，与题设条件矛盾，故若，则有，即，易验证该函数满足题设条件综上，所求函数为[例9]已知函数是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数是奇函数。又知在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值，最小值为－5。（1）证明：；（2）试求的解析式；（3）试求在[4，9]上的解析式。解析：（1）证明： 是以5为周期的周期函数，∴又是奇函数，∴∴（2）当时，由题意，可设由得，解得∴（3） （）是奇函数，∴∴又是一次函数∴可设 又∴∴当时，当时，∴∴当时，当时，∴当时，，∴[例10]设函数在上的最大值为3，求实数。解析：①令，即，得，此时，可知适合题意。用心爱心专心②令，即，得，此时对称轴为，开口向下，知适合题意。③令，即，得，此时对称轴为，不适合题意（时，显然不适合题意），故的值为或。[例11]已知函数的定义域为R。（1）求实数m的取值范围；（2）当m变化时，若y的最小值为，求函数的值域。分析：（1）定义域为R，即不等式的解集为R。（2）求y的最小值用一元二次函数求最值的方法。解析：（1）依题意，当时，恒成立当时，；当时，，即解之得，故（2）当时，；当时，∴，因此，∴的值域为评析：本题要注意分类讨论，要分和讨论，求的值域用单调性求。[例12]已知函数的值域是，试求函数的定义域和值域。解析： 的定义域为R，令，则有由，得，即∴，且∴，即 ，∴恒成立又∴函数的定义域为R，值域为[例13]已知二次函数（是常数且）满足条件：且方程用心爱心专心有等根。（1）求的解析式；（2）问是否存在实数（），使的定义域和值域分别为[]和[]？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。解析：（1）依题意，方程有等根，∴，∴又，∴，∴，∴（2） 的对称轴方程为∴当时，在[]上为增函数，设存在，则即又，∴即存在实数，使的定义域为[－2，0]，值域为[－4，0][例14]对定义域分别是，的函数，，规定：函数（1）若函数，，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域；（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明。（1）（2）当时，若，则，其中等号当x=2时成立，若，则，其中等号当x=0时成立。∴函数的值域是（3）解法一：令则于是解法二：令，则用心爱心专心于是[例15]求下列函数的...
