高三数学第一轮复习：二项式定理知识精讲VIP免费

高三数学第一轮复习：二项式定理【本讲主要内容】二项式定理二项式定理和二项展开式性质及其应用【知识掌握】【知识点精析】1.二项式定理：对任意的正整数n，有这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，各项系数……（r＝0，1，2，……，n）叫做二项式系数。特例：在二项展开式中令a＝1，b＝x，则有公式：2.通项公式：二项展开式中的第r+1项叫做通项，记做。注意：（1）它表示二项展开式中的任意项，只要n和r确定，该项也随之确定。（2）通项公式表示的是第r+1项，而不是第r项。（3）公式中a，b的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n。3.二项式系数的性质：（1）二项式系数的对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；（2）二项式系数的大小规律如果二项式幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式幂指数是奇数，中间两项和的二项式系数相等并且最大。（3）二项式系数的和：当n为偶数时当n为奇数时（4）二项式系数与项的系数的区别：如的展开式中，第r+1项的二项式系数为，第r+1项的系数为。（5）求展开式的各项系数之和用心爱心专心对形如的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可。（6）最大系数及系数最大项的求法如求展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为，设第r+1项系数最大，应有，从而解出r来，即得。【解题方法指导】例1.求（4+2x+x2）（2-x）7的展开式中x5的系数。解：（4+2x+x2）（2-x）7＝（8-x3）（x-2）6＝（8-x3）[（x6-2C61x5+（-2）2C62x4+（-2）3C63x3+（-2）4C64x2+…]∴含x5的项为-2×8×C61·x5-（-2）4C64x5＝-336x5∴x5的系数为-336例2.已知的展开式前三项中的x的系数成等差数列。（1）求展开式里所有的x的有理项；（2）求展开式里系数最大的项。解：（1） 由题设可知解得n＝8或n＝1（舍去）当n＝8时，通项据题意，必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8∴r＝0，4，8，故x的有理项为，，（2）设第r+1项的系数tr+1最大，显然tr+1>0，故有≥1且≤1 由≥1得r≤3又 由≤1得：r≥2∴r＝2或r＝3。所求项为和用心爱心专心例3.设求：（1）（2）解：设，则，（1），（2）【考点突破】【考点指要】二项式定理的应用主要涉及利用通项公式求展开式的特定项，利用二项式的性质求多项式的系数和，利用二项式定理进行近似计算，题型以选择、填空为主，少有综合性的大题，本节是高考的必考内容。【典型例题分析】例1.在的展开式中，的系数是__________．（用数字作答）解：的展开式的通项为令得∴的系数为.例2.若的展开式中的系数是，则实数的值是．用心爱心专心解：的展开式的通项为由的系数是，可得解得例3.的展开式中整理后的常数项为.解： ∴先求的展开式中含的项，即：∴的展开式中整理后的常数项为.例4.设，则的展开式中的系数不可能是（）A.10B.40C.50D.80解： 它的通项为∴当时，的系数分别为：∴的展开式中的系数不可能是50故选C例5.在的二项展开式中，含的奇次幂的项之和为，当时，等于（）Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.用心爱心专心解：显然，当为奇数时，为奇数.当时，∴【综合测试】一.选择题：1.展开式中，x4的系数为（）A.-40B.10C.40D.452.若多项式，则（）Ａ.9Ｂ.10Ｃ.Ｄ.3.若展开式中含的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于（）A.5B.7C.9D.114.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A.7B.C.21D.二.填空题1.展开式中的常数项是____________.2.在的展开式中的系数是___________3.展开式的中间项是__________。4.已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则＝.三.解答题1.（1）有1元、2元、5元、50元、100元的人民币各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？（2）七个电阻串联在一起连成一串。中间只要有一个坏了，这串电阻就失效，因电阻损坏而失效的可能性种数是多少？2.证明用心爱心专心用心爱心专心达标测试答案一.选择题：1.D解： ∴x4的系数为2.D解：的系数为，的系数为，∴3.A解：由题意，，解得n＝54.C解：令x＝1，则2n＝128，∴n＝7，令∴的...