高三数学第一轮复习讲义（56）平面的基本性质VIP专享VIP免费

高三数学第一轮复习讲义（56）平面的基本性质一、复习目标：掌握平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．二、课前预习：1．、、表示不同的点，、表示不同的直线，、表示不同的平面，下列推理不正确的是（），直线，且不共线与重合选2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）选3．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有（）1个2个3个4个选4．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定个平面．答案：7个．三、例题分析：例1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．解：∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β．又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．αDCBAEFHG∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线．说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．例2．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．证明1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，但Ad，如图1．∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α．∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．同理可证bα，cα．∴a，b，c，d在同一平面α内．2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．又H，K∈c，∴cα．同理可证dα．∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例3．如图，点A，B，C确定的平面与点D，E，F确定的平面相交于直线l，且直线AB与l相交于点G，直线EF与l相交于点H，试作出平面ABD与平面CEF的交线．解：如图3，在平面ABC内，连结AB，与l相交于点G，则G∈平面DEF；在平面DEF内，连结DG，与EF相交于点M，则M∈平面ABD，且M∈平面CEF．所以，M在平面ABD与平面CEF的交线上．同理，可作出点N，N在平面ABD与平面CEF的交线上．连结MN，直线MN即为所求．E·BAD·FC····E·BAl图3GHD·FCM···αbadcGFEAabcdαHK图1图2例4．如图，已知平面α，β，且αβ＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．证明∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB，CD必定相交于一点，设ABCD＝M．又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．∴M∈αβ．又∵αβ＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．αDCBAlβM