高三数学第一轮复习讲义（44）不等式的应用一、复习目标：1．不等式的运用已渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，体现了不等式内容的重要性、思想方法的独特性，要熟悉这方面问题的类型和思考方法；2．应用题中有一类是寻找最优化结果，通常是把问题转化为不等式模型，再求出极值．二、知识要点：1．利用均值不等式求最值：常用公式：，，你知道这些公式的使用条件吗？等号成立的条件呢？使用求最值时要满足“一正、二定、三相等”．2．关于有关函数、不等式的实际应用问题：这些问题大致分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立目标函数求最大、最小值．三．课前预习：1．数列的通项公式是，数列中最大的项是（）第9项第10项第8项和第9项第9项和第10项2．已知，且满足，则的最小值为（）23413．若实数满足，则的最大值是（）4．设，且恒成立，则的最大值为4．5．若，则的最小值是．6．若正数满足，则的取值范围是．四、例题分析：例1．（1）若是正实数，且，求的最大值；（2）若是正实数，且，求的最大值及相应的实数的值．解：（1）∵，当且仅当时取等号，∴的最大值为．（2），当且仅当，即时，有最大值．例2．商店经销某商品，年销售量为件，每件商品库存费用为元，每批进货量为件，每次进货所需的费用为元，现假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存存量平均为，问每批进货量为多大时，整个费用最省？解：设整个费用为（万元），含有两个部分，其一是仓库存储费用，其二是进货费用，其中为定值，为变量，，∴，当且仅当，即时，整个费用最少．小结：解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型来解决问题．近年来，均值不等式在高考试题的实际应用题中出现频率较高，是热点内容．例3．已知且，数列是首项为，公比也为的等比数列，令，问是否存在实数，对任意正整数，数列中的每一项总小于它后面的项？证明你的结论．解：，，假设存在实数满足题意，即对任意正整数成立，则，①当时，，∴当且仅当时①式成立，即对任意正整数成立，∵，恒成立．当时，，∴∴当且仅当时①式成立，即对任意正整数成立，∵，∴．综上所述，存在实数，当或时，满足题意．小结：数列是单调递增数列（）；递减（）．五、课后作业：班级学号姓名1．设，，，则的取值范围是（）2．设，，，，则中最小的是（）3．若设，且，，那么的最值情况为（）有最大值2，最小值有最大值2，最小值0有最大值10，最小值最值不存在4．已知是大于0的常数，则当时，函数的最小值为．5．周长为的直角三角形面积的最大值为．6．光线每通过一块玻璃板，其强度要减少10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，能使通过它们的光线强度在原强度的以下．7．为何实数时，方程的两根都大于．解：设，原方程两根设为，则，∴，此时原方程两根都大于．8．某种汽车，购买是费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费9千元，汽车的维修费第一年为2千元，第二年为4前元，第三年为6千元……，依等差数列逐年递增．问：这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时年平均费用最少）？解：设使用年的总费用为（千元），则，平均每年的费用为，当且仅当，即时取等号，因此，汽车使用10年报废最合算，此时年平均费用为3万元．9．设二次函数（），已知不论为何实数，恒有，且，（1）求证：；（2）求证：；（3）若函数的最大值为8，求的值．
