高三数学第一轮复习讲义（46）两条直线的位置关系VIP专享VIP免费

高三数学第一轮复习讲义（46）两条直线的位置关系一、复习目标：1．掌握两直线平行与垂直的条件，两直线的夹角和点到直线的距离公式．2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．二、知识要点：1．已知两条直线与：（1）．（2）；（3）与重合．2．直线到的角公式：；直线与的夹角公式：．3．点到直线的距离公式：；两平行直线间的距离公式：．三、课前预习：1．中，是内角的对边，且成等差数列，则直线与的位置关系（）重合相交不垂直垂直平行2．点到直线的距离为的最大值是（）3．设直线：与直线：.①若互相垂直，则的值为0或2；②若没有公共点，则的值为或.4．已知三角形的三个顶点为、、．（1）；（2）的平分线所在的直线方程为.5．点关于直线的对称点的坐标为．四、例题分析：例1．光线从点射出，经直线：反射，反射光线过点．（1）求入射光线所在直线方程；（2）求光线从到经过的路程.解：设点关于直线的对称点是．∴，解之得，∴．（1）∴入射光线所在直线方程即直线方程：．（2）设入射光线与直线交于点，则共线．∴．小结：例2．已知的顶点，过点的内角平分线的方程是，过点的中线方程为，求顶点的坐标和直线的方程．解：设点，由过点的内角平分线方程得①，又∵的中点在过的中线上，∴②，联立①、②解得，∴点．又∵，过点的角平分线的斜率，由到角公式得，解得，故直线的方程为．小结：例3．求过点且被两直线：，:所截得的线段长的直线的方程.解：如图，设所求直线分别交、于点B、C，∵∥∴、之间的距离|BD|=.由已知|BC|=3，∴∠BCD=45°，即所求直线与（或）的夹角为45°，设所求直线的斜率为k，则有：tan45°=，解之得，k1=-7或k2=-.∴所求直线的方程为y=-7(x-2)或y-3=(x-2)，即，7x+y-17=0或x-7y+19=0.小结：五、课后作业：班级学号姓名1．过点引直线，使它与两点、距离相等，则此直线方程为（）或或2．把直线绕原点逆时针方向转动，使它与圆相切，则直线转动的最小正角是（）3．等腰三角形底边所在的直线的方程为,一腰所在的直线的方程为,点在另一腰上,则此腰所在的直线的方程为.4．已知为坐标原点，点的坐标为，为线段垂直平分线上的一点，若为锐角，则点的横坐标的取值范围是或．5．△ABC中，顶点、、内心，则顶点的坐标为．6．已知直线：，：，求直线关于直线对称的直线的方程.x+y-1=0，x=解法1由得2x-y+3=0，y=∴过点P（，）.又，显然Q（-1，1）是直线上一点，设Q关于直线的对称点为（，），则有=0解之，得=2即（0，2）.直线经过点P、，由两点式得它的方程为x-2y+4=0.解法2由解法1知，与的交点为P（，）.设直线的斜率为k，且与的斜率分别为-1和2.∵到的角等于到的角，∴=，∴.∴直线的方程为y-=（x+），即x-2y+4=0.解法3设M（x，y）是直线上的任意一点，点M关于直线的对称点为，坐标为（，），则=1-y解得=1-x即点（1-y，1-x），因为点在直线上，将它的坐标代入直线的方程得，x-2y+4=0，即为直线的方程.7．已知三条直线：，：，：，它们围成.（1）求证：不论取何值时，中总有一个顶点为定点；（2）当取何值时，的面积取最大值、最小值？并求出最大值、最小值.证明⑴将直线：mx-y+m=0化为m（x+1）-y=0，x+1=0，由得x=-1，y=0，即直线经过定点（-1，0）.-y=0，同理，将：（m+1）x-y+（m+1）=0化为m（x+1）+（x-y+1）=0，x+1=0由得x=-1，y=0，即直线经过定点（-1，0）.x-y+1＝0从而，直线、都过同一个定点（-1，0），由于、的交点是△ABC的一个顶点，故△ABC中总有一个顶点为定点.⑵设、的交点为A（-1，0），、的交点为B，、的交点为C（如图），则A到直线的距离为==.mx-y+m=0，x=由解得x+my-m（m+1）=0，y=+m即B（，+m+1）.x+my-m（m+1）=0，x=0由解得（m+1）x-y+（m+1）=0y=m+1即C（0，m+1）.所以，.于是，△ABC的面积===∵≥2|m|，∴≤，∴，从而S∈[，].令S=，则m=-1；令S=，则m=1.所以，当m=1时，△ABC有最大面积；当m=-1时，△ABC有最小面积.8．已知正方形的中心为直线和的交点，正方形一边所在直线的方程为，求其它三边所在的直线方程．解：∵直线和的交点为，且设与平行的边所在的直线方程为，则，∴，故此直线方程为．又设与垂直的边所在的直线方程为，则，∴或．所以其它三边所在的直线方程为，，．