高三数学立体几何（文）习题精选精讲VIP专享VIP免费

例谈立体几何中的转化立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿立体几何教学的始终，在立体几何教学中占有很重要的地位。立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化，具体从以下几个方面入手。1、位置关系的转化线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位置关系的相互依存及转化，平行与垂直问题不但能横向转化，而且可以纵向转化。例1已知三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，侧棱SA⊥底面ABC，点A在棱SB和SC上的射影分别是点E、F。求证EF⊥SC。分析： A、E、F三点不共线，AF⊥SC，∴要证EF⊥SC，只要证SC⊥平面AEF，只要证SC⊥AE（如图1）。又 BC⊥AB，BC⊥SA，∴BC⊥平面SAB，∴SB是SC在平面SAB上的射影。∴只要证AE⊥SB（已知），∴EF⊥SC。例2设矩形ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，以EF为棱将矩形折成二面角A－EF－C1(如图－2)。求证：平面AB1E∥平面C1DF。分析一（纵向转化）： AE∥DF，AE平面C1DF，∴AE∥平面C1DF.同理，B1E∥平面C1DF，又AE∩B1E＝E，∴平面AB1E∥平面C1DF。分析二（横向转化）： AE∥EF，B1E⊥EF，且AE∩B1E＝E，∴EF⊥平面C1DF。同理，EF⊥平面C1DF。平面AB1E∥平面C1DF。2、降维转化由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。如线面垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平面问题。例3如图-3，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为.分析：这类问题通常都是将几何体的侧面展开成平面图形来解决。又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。例4如图-4直四棱柱中，，底面ABCD是直角梯形，∠A是直角，AB||CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线与DC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）解：由题意AB//CD，是异面直线BC1与DC所成的角.连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得，又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，得又在中，可得，在用心爱心专心115号编辑BEAD1CFC1图－2D图－1ESFCBA图-4图-3∴异而直线BC1与DC所成角的大小为。实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。3、割补转化“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口。例5如图5，三棱锥P－ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝n,PA与BC的公垂线ED＝h，求证：三棱锥P－ABC的体积V＝n2h.此题证法很多，下面用割补法证明如下：分析一：如图5，连结AD、PD， BC⊥DE，BC⊥AB，∴BC⊥平面APD，又DE⊥AP，∴VP－ABC＝VB－APD＋VC－APD＝BC·S⊿APD＝。分析二：如图6，以三棱锥P－ABC的底面为底面，侧棱PA为侧棱，补成三棱拄PB1C1－ABC，连结EC、EB，则易证AP⊥平面EBC，∴V三棱拄＝AP·S⊿EBC＝n2h。∴VP－ABC=V三棱拄=。4、等积转化“等积法”在初中平面几何中就已经有所应用，是一种很实用的数学方法与技巧。立体几何中的“等积转化”（或称等积变换）是以面积、体积（尤其是四面体的体积）作为媒介，来沟通有关元素之间的联系，从而使问题得到解决。例6如图7，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积。略解：易证四边形EBFD1是菱形，连结A1C1、EC1、AC1、AD1，则VA1-EBFD1=2VA-EFD=2VF-A1ED1=2VC1-A1ED1=2VE-A1C1D1=VA-A1C1D1=V正方体AC1＝a3。5、抽象向具体转化例7A、B、C是球O面上三点，弧AB、AC、BC的度数分别是90°、90°、60°。求球O夹在二面角B－AO－C间部分的体积。分析：此题难点在于空间想象，即较抽象。教师引导学生读题：条件即∠AOB＝∠AOC＝90°，∠BOC＝60°，然后给出图形（如图8），则可想象此题意即为用刀沿60°二面角，以直径为棱将一个西瓜切下一块，求这一块西瓜的体积，（答：）。问题于是变得直...