高三数学立体几何、平面与平面位置关系（文）人教版【同步教育信息】一.本周教学内容：立体几何、平面与平面位置关系二.知识结构：三.难点：1.两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理及其应用。2.求二面角的平面角。3.异面直线上两点间距离公式。二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，二面角的平面角是以棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角二面角是一个空间概念，而二面角的平面角是一个平面概念。二面角是通过它的平面角来度量的。二面角的平面角是多少度，就称二面角是多少度，二面角的取值范围是。书中给出了异面直线上两点间距离公式由此可知，因此，两条异面直线的距离，是分布在两条异面直线上的两点的距离中的最小的。【典型例题】[例1]如图1，ABCD两对角线AC与BD交于点O，过O的线段PQ恰被平面ABCD垂直平分，E、G分别是PB、QA的中点，求证：平面ADE//平面BGC。图1解：由PQ与AC垂直平分，则四边形PAQC为菱形，则用心爱心专心又由E、G分别为PB、AQ中点，则故四边形AGCF为平行四边形，则在平行四边形ABCD中，故平面ADE//平面BGC小结：两个平面平行的判定定理是两个平面平行的基本方法，此外，还可以利用以下方法判定面面平行：（1）如果两个平面都与同一条直线垂直，则这两个平面平行；（2）如果两个平面都与同一个平面平行，则这两个平面平行。[例2]已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，，，。（1）证明：平面AB1C//平面A1C1D；（2）求平面AB1C与平面A1C1D的距离。图2解：（1）如图2所示 ∴四边形A1B1CD为∴B1C//A1D同理AB1//C1D∴平面AB1C//平面A1C1D（2）设平面AB1C与平面A1C1D的距离为，由面面距离的定义知，点D到平面AB1C的距离即等于平面AB1C与平面A1C1D的距离，又由平面AB1C过线段DB的中点O，则点B和D到平面AB1C的距离相等，以下利用体积变换求点B到平面AB1C的距离作于E，连结B1E，由三垂线定理在中，在中，故由三棱锥B—AB1C与三棱锥B1—ABC为同一四面体，则即平面AB1C与平面A1C1D的体积为小结：（1）面面距离、线面距离都可以转化为点面距离，而点面距离除直接求垂线段长外，还可以利用间接法，如本例使用体积变换求得。（2）易证如果两条异面直线分别位于两个互相平行的平面内，则这两个平面的距离与异面直线的距离相等，利用这个事实，我们可以把求异面直线的距离转化为求两个平面的距离，如本例异面直线AB1与A1C1的距离与这两个平行平面距离相等。用心爱心专心[例3]过点S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且，，求证：平面平面BSC。图3解：证法1：如图3由作平面BSC于D，由射影长定理，有即D为的外心，故D为斜边BC的中点，则平面ABC，所以平面平面BSC。证法2：设由取D为BC的中点，连结AD、SD，则，故为二面角A—BC—S的平面角在中，，由，则在中，由则，故平面平面BSC小结：证明两个平面垂直常使用判定定理或定义，如证法1和证法2。[例4]如图4，已知为等腰直角三角形，，，将沿BC折起，使二面角A—BC—D为直二面角。（1）求证：平面平面ADC；（2）求二面角A—BD—C的大小。图4解：（1）由又由（2）作于E，则E为等腰的中点，过E作于F，连结AF。由用心爱心专心则为二面角A—BD—C的平面角设，则，，在中，，故二面角A—BD—C为小结：（1）在平面图形翻折成空间图形的问题中，要充分注意翻折前、后各元素的相对位置和数量关系的变化，分清哪些发生了变化，哪些没有变化。（2）利用三垂线定理作出二面角的平面角，再解三角形求该角，这是求二面角平面角的常用方法。[例5]已知矩形ABCD中，，，以BD为棱折成大小为的二面角A—BD—C，使得，求二面角A—BD—C的大小。图5解：解法1：如图5，过A作，过C作于F，过E作，连结AG、CG，则为二面角A—BD—C的平面角。由题设，易求得，，由即为直角三角形。在中，由余弦定理，得即，所以二面角A—BD—C为解法2：把AE与CF看成两条异面直线则EF为公垂线段，利用异面直线上两点间距离公式，有，故小结：解法2给出了利用异面直线上两点间距离公式间接求二面角平面角的方法。异面直线上两点间距离公式的内容如下：如图6，已知两条异面直线所成的角为，它们的公垂线段的长为。E、...
