高三数学理第一轮复习：平面向量的概念与运算、平面向量的数量积人教版【本讲教育信息】一.教学内容：平面向量的概念与运算、平面向量的数量积二.重点、难点：1.（1）了解共线向量的概念、平面向量的基本定理；会将平面向量用两个非共线向量表示。（2）理解向量的概念，理解两个向量共线的充要条件。（3）掌握向量的几何表示，向量的加法与减法、实数与向量的积。2.掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的运算及运算律和坐标运算；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。【典型例题】[例1]在中，，，BN与CM交于点E，，，用表示。解：由已知得，设，则而∴∴同理，设，则∴∴由与不是共线向量，得，解得∴，即[例2]如图，已知ABCD边AB的中点为E，F为AD上的一点，且，BF、CE交于K，用向量方法求的值。用心爱心专心解：设，则 ∴设，则又B、K、F三点共线∴存在实数，使即∴∴由（1）：，代入（2）∴[例3]O为坐标原点，已知A（3，1）B（）若C满足，，其中，，且，则点C的轨迹方程为？解：由已知得A、B、C三点共线∴即[例4]O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心解：如图1，令，图1用心爱心专心方法一：，则动点P满足，所以点P的轨迹是由点A出发的射线因为所以四边形为菱形，所以平分因此，点P的轨迹一定通过的内心方法二：当时，因为所以得又因为两向量夹角的余弦函数在闭区间上递减所以因为A、B、C不共线，所以AP平分，得点P的轨迹一定通过的内心方法三：考虑特殊情形，取为等腰直角三角形，即，如图2这时，的外心为AC的中点D，垂心为点B而由题设知点P的轨迹是由点A出发，方向为的射线，不经过点D，也不经过点B，故排除A、D两个选项。其次，由于。知射线不平分BC，即不通过的重心，排除选项C，从而得选项B为答案。图2[例5]在直角坐标系中，已知点A（0，1）和点B（）。若点C在的平分线上且，则。解：设的平分线交AB于D点由内角平分线定理，知∴∴[例6]设有两个向量，今有动点P从开始沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为；另一动点Q从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为。设P、Q在秒时分别在、用心爱心专心处，则当时，为多少秒？解：由题意，故P、Q两点的坐标分别为和∴， ，故，即解得[例7]已知是同一平面内的三个向量，其中。（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角。解：（1）设 ∴∴又 ，且∴，由得或（2） ∴即∴∴∴夹角为[例8]已知向量和，且，求的值。解析：方法一：由已知，得又∴ ∴∴∴方法二：用心爱心专心由已知，得 ∴∴∴【模拟试题】（答题时间：40分钟）一.选择题：1.设为不共线向量，，，，则下列关系式中正确的是（）A.B.C.D.2.已知向量，向量，如果，那么等于（）A.2B.1C.D.3.已知的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若，则点P与的关系为（）A.P在的内部B.P在的外部C.P在AB边或其延长线上D.P在AC边上且是AC的一个三等分点4.已知点A（），B（0，0），C（），设的平分线AE与BC相交于E，那么有，其中等于（）A.2B.C.D.5.与向量平行的单位向量是（）A.B.C.D.6.已知向量，若，则等于（）A.B.C.D.7.若，则在方向上的投影为（）A.B.C.D.8.已知向量与向量互相垂直且=，若，则等于（）A.B.C.或D.或二.解答题：1.如图所示，D、E是中，AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知。试用表示和。用心爱心专心2.已知A（3，0），B（0，3），C（），O为原点。（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）若且，求与的夹角。3.在平行四边形ABCD中，A（1，1），，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P，（1）若，求点C的坐标；（2）当时，求点P的轨迹。【试题答案】一.1.B解析：2.C解析：令（），则有3.D解析： 又∴即，即P分所成的比为24.C解析：在中，AC=1，∴AB=2由内角平分线的性质知∴BE=2EC∴又 与反向∴∴5.D解析：与平行的单位向量为6.A解析：7.C解析：投影为8.D解析：设，由题意知，消去，得故或用心爱心专心二.1.解析：由三角形的中位线定理，知，故，即2.解析：（1） ∴即∴（2），...
