高二数学构造数列证明不等式的几种思路林明成证明与自然数n有关的不等式的常规思路是数学归纳法或放缩法，但数学归纳法的证明过程比较繁琐，而放缩法的技巧性很强，难度较大。如果抛开定势思维，根据命题的具体结构与特点，构造数列来证明，可使证明过程思路清晰、可操作性强、简捷明快，收到事半功倍的效果。本文谈谈运用构造法证明数列型不等式的几种思路。一、直接法视不等式的左边为一个整体，直接考查不等式左边对应的数列的单调性，达到证明的目的。例1.证明对于一切大于1的正整数n，有。证明：构造数列。因为所以数列为递增数列。因为n是大于1的正整数。所以，当且仅当时等号成立。故原不等式成立。二、作差法欲证，可转证数列是首项大于0的递增数列。例2.证明对于一切正整数n，有。证明：令。则所以数列是递增数列。所以，故原不等式成立。例3.已知且且，求证：。证明：令，又且0，则，所以在上单调递减。所以，故原不等式成立。三、作商法若，则欲证，可转证数列是首项大于1的递增数列。例4.证明对于一切正整数n，有。证明：设，则用心爱心专心。即数列是递增数列。所以，故原不等式成立。例5.当时，求证：。证明：设，则。。所以数列是递减数列，所以，故原不等式成立。例6.已知i、m、n是正整数，且，求证：。证明：构造数列，则。所以数列是递增数列，所以，故原不等式成立。四、差分法对于“”型不等式，令，若能证明，则欲证明的不等式得证。这种思路朴素，可操作性强，对于“和型”不等式，往往行之有效。例7.证明对于一切正整数n，有。证明：记数列的前n项的和为。当时，。又。则数列的每一项大于数列的相应项，故大于数列的前n项和，故原不等式成立。五、商分法对于“”型不等式，令，若能证明，则欲证明的不等式得证。例8.证明对于一切大于1的正整数n，有。证明：原不等式即。记数列的前n项的积为。则。当时，，用心爱心专心欲证，只需证，即证，而这是明显成立的。可见数列的每一项均小于数列的相应项，所以小于数列的前n项积，故原不等式成立。例9.（同前例4）证明：原不等式即。记数列的前n项的积为。当因为又可见数列的每一项均小于数列的相应项，所以小于数列的前n项积。故原不等式成立。五、变换结论法将结论适当变形，使不等式两边为“和”型或“积”型结构，然后依此利用“差分法”或“商分法”构造数列，巧妙地解决原问题。例10.证明对于一切正整数n，有。证明：要证，即证，即证。记数列的前n项的和为下面只需证明（*）当（*）式成立。当时，。综上，原不等式成立。例11.求证：证明：要证，只要证即可。因为构造数列。又。所以，当且仅当时取等号。所以。例12.求证：。证明：从特殊值2007、2008难以入手，考虑更一般的情况：。用心爱心专心要证即可。因为。构造数列当时，（*）式成立。当。故当时，综上，（*）式成立，故原不等式成立。六、对偶法根据已知不等式的结构，给原“数列”（不等式的一端）匹配一个与之对偶的数列，然后一起参与运算，从而使问题获得圆满解决。例13.（同前例8）证明：原不等式即。记构造数列。则。，故原不等式成立。评注：本题利用了整数的分类中奇数与偶数的对称性构造对偶式。例4可仿本题完成。例14.设为互不相等的正整数，求证：。证明：记，构造对偶数列，则，当且仅当时，等号成立。又为互不相等的正整数，所用心爱心专心。评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。用心爱心专心
