高三数学有趣的旅程——对08浙江省第20题的命制背景的探索VIP专享VIP免费

有趣的旅程——对08高考浙江卷第20题的命制背景的探索作者齐建民河北省唐山市第12中学高中部qq350601384暑假在做08高考题时我发现浙江卷第20题比较有趣，因此对其命制背景进行了一番探索，几经猜测验证，终于得到一个结论，对我而言，这是一次奇妙有趣的旅程，结论不是最重要的，甚至也许是不值一提的，但其间沿途的风景之美不可言喻，让人回味无穷！废话说的不少了，先请大大家看看原题及官方解答，我对第二问稍作了修改：例已知曲线C是到点P（83,21−）和到直线85−=y距离相等的点的轨迹。l是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在l上）的动点，A、B在l上，,MAlMBx⊥⊥轴，（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）求出直线�的方程，使得2QBQA为常数官方解答：（Ⅰ）解：设()Nxy，为C上的点，则2213||28NPxy⎛⎞⎛⎞=++−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，N到直线58y=−的距离为58y+，由题设得22135288xyy⎛⎞⎛⎞++−=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，化简得曲线C的方程为21()2yxx=+；（2）设22xxMx⎛⎞+⎜⎟⎝⎠，，直线:lykxk=+，()Bxkxk+，，从而2||1|1|QBkx=++，过Q(10)−，垂直于l的直线11:(1)lyxk=−+，即111:0lxykk++=，因||||QAMH=，故22111|()|2||11xxxkkQAk+++=+，22222222222||(1)(1)1121(1)()()111111|||()||()|22QBkxkkxxkfkgxQAkkxxxxxxkkkk⎛⎞⎡⎤⎜⎟++++++==+=⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎣⎦++++++⎝⎠ii要使该式是常数，也就是与x的取值无关，只需考虑()gx的部分，这也是后面的各种探索中关注的焦点，22222121()1111111|()||()|222xxxxgxxxxxxkkkk++++==++++++，对比系数发现，只有当2k=时，()2gx=，此时2||55||QBQA=，从而所求直线l方程为220xy−+=这个题给人的感觉是完全依靠计算来完成，没有过多的需要想的地方（除了最后一步需要想k需要取什么值才能把含x部分消掉），另外也没什么可以引申的，标答给出了（2）的两种解法也并无趣味性，我对探求其他解法兴趣不大，感兴趣的是——命题人是如何搞出这么个模样怪异的定值表达式的？这个类型的式子很少见，2||||QBQA，两个距离的比值，分子是距离的平方，不对称的结构，立马引起了我的兴趣，我猜想它一定有背景，不会是随意臆造出来的，因此进行了后面的探索，当然，我最后得到的结论也未必就是命制者的初衷，也许是我无意中得到的本题的一个引申，不管怎样，我按时间顺序把探索过程记录下来，一是通过记录更加理顺自己的思路，另外请大家看看其中的分析是否有问题，最后，应该说这个问题还没有得到彻底的解决，请有能力的同仁共同研究，在本次探索过程中大量使用了算两次，倒推法，猜想法，借助的工具是几何画板.【探索一】这个比值的背景是什么？我能不能找到类似的比值关系？请大家谅解，我并不是刻意在按照波利亚的解题思想在行事，但不可否认的是这已经成为习惯了，没办法，呵呵。我反复回想在我的记忆中，不管什么地方，与抛物线有关的，无关的，都统统扫描，一个距离的平方，与另一个距离的比值是定值，什么地方存在呢？换句话说，退，退到最本质的地方，把抛物线平移到标准位置，最后得到这个，背景差的很远，一时看不出二者有内在联系：设抛物线22(0)xpyp=>，则其上任意一点M到y轴的距离的平方为2x，到x轴的距离为y，则这个比值，y2xMpM=到轴的距离的平方到轴的距离（定值），这个探索到此结束，没有往下进行，因为这个类比似乎不恰当，提供不了有用信息【探索2】直线l与抛物线是否有特定的关系，比如直线经过抛物线的焦点？抛物线21()2yxx=+的焦点题目已经给出了，是13(,)28P−，易知它并不在直线220xy−+=上，故这个探索说明题目的背景极可能与抛物线的焦点无关，这至少确定了今后猜测的方向不再围绕焦点展开.【探索3】是否还有类似的点具备Q点具有的性质？（过其引直线使2||||QBQA是定值）仔细观察图象发现，这个Q点是比较特殊的，抛物线21()2yxx=+与x轴的两个交点（-1，0），（0，0），Q点恰是左边的，那么右边的原点，二者关于抛物线的对称轴对称，那么理应也具备这个性质，稳妥起见我实际计算了一下，结果发现，设M是抛物线C上的一点，则当过O的直线的斜率为2−时，2||55||OBOA=也为定值与Q点一样，这样的话就有理由相信，如果两条直线关于抛物...