高三数学新课：数列、函数的极限（理）人教版【本讲教育信息】一.教学内容：高三新课：数列、函数的极限二.本周教学重、难点：1.数列极限（1）定义（2）运算法则如果，，那么①②③（）④（为常数）（3）几个常用的极限①（为常数）②（0）③（且）④（）2.函数的极限（1）当时，的极限（2）当时，的极限（3）运算法则如果，那么①②用心爱心专心③【典型例题】[例1]考察下面的数列，写出它们的极限。（1）（2）（3）解：（1）的项随的增大而减少，但大于0，且当无限地增大时，无限地趋于0，因此。（2）数列的项随的增大而增大，但小于7，且当无限地增大时，无限地趋近于7，因此数列的极限为7。（3）数列的项正负交错，随增大其绝对值减少但不等于0，当无限地增大时，无限地趋于0。因此数列的极限为0。[例2]已知，。求下列极限。（1）；（2）。解：（1）（2）[例3]求下列数列的极限。（1）；用心爱心专心（2）；（3）。解：（1）（2）（3）[例4]求的值。解：①当时，原式②当时，原式③当时，原式所以原式[例5]已知数列前项之和（为不是1的常数）（1）用表示；用心爱心专心（2）若，求的取值范围。解：（1）∵，同样有∴即∴∴为等比数列，公比为首项由，得到即为，的等比数列∴（2）要求，即要求，且，得[例6]（1）设，求，及解：，∵∴（2）设，问是否存在。解：，∵，∴不存在[例7]求解：用心爱心专心[例8]已知函数，试讨论在处的极限。解：∵∴所以在处的极限不存在∵∴所以，在处有极限且。[例9]已知，讨论在和时的极限。解：（1）当时，∵∴时，的极限不存在（2）当时，∵∴[例10]已知，求的值。解：由于当时，的极限存在∴分子、分母必有公因式∴用心爱心专心并有∴∴【模拟试题】一.选择题：1.下列数列中不存在极限的是（）A.B.C.D.2.下列数列中有极限的是（）①②③④⑤A.②⑤B.②④⑤C.①④⑤D.①③④3.若，则（）A.B.且C.D.4.对无穷数列有下面四个命题：①一定有极限；②若为等差数列，那么有极限的充要条件是它的公差；③若为等比数列，那么公比时，有极限；④若为递增数列，那么一定没有极限以上命题中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.45.（）A.B.1C.0D.不存在6.（）A.不存在B.1C.D.2用心爱心专心7.（）A.0B.2C.1D.不存在8.设，的极限是（）A.1B.3C.0D.不存在二.解答题：1.已知等比数列的公比为，且有，求首项的取值范围。2.写出下列函数的极限：（1）（2）（3）3.设函数是一个偶函数，且，，求出这一函数的最大值。用心爱心专心试题答案一.1.C2.A3.A4.B5.B6.A7.A8.D二.1.解：由知①或②由①得或；由②得综上所述，或或为所求。2.解：（1）（）（2）∵∴（3）3.解：∵为偶函数∴∴①②由①②可得，∴故函数的最大值为1用心爱心专心
