高三数学文第一轮复习：圆人教版【本讲教育信息】一.教学内容：圆二.知识讲解：1.标准方程：，其中，半径2.一般方程：化为一般式，其中，3.圆与直线的位置关系相离或；相切或；相交或4.经过圆⊙O：上一点的切线方程经过⊙C：上一点的切线方程5.圆与圆：以，为直径的圆与相离，与外切，与相交，与内切，与内含，6.圆系，设和是两相交的圆，当时，表示经过、交点的圆（不含），当时，表示过、的一条直线。【典型例题】[例1]已知：方程。（1）为何值时，方程C表示圆；（2）方程C表示圆时，为何值时圆半径最大？并求出此时圆的方程。解：（1）方程C表示圆的充要条件是即化简得故当时，方程C表示圆（2）由（1）可知当时，取最大值用心爱心专心此时，所以时，圆半径最大，这时圆方程为注：圆方程（1）标准方程，圆心，半径r（2）一般方程，化为标准式，圆心，半径（3）圆系方程，过已知圆的交点的圆系方程，即当时，变为表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线，当两圆相切时，此时直线为两圆公切线。[例2]过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）A.B.C.D.解：设圆心为C，则C为AB垂直平分线与直线的交点，则由半径故圆C方程为，选C[例3]已知圆C：，为圆上任意一点，（1）求的最值；（2）求的最值。解：（1）设，则由该直线与圆有公共点的充要条件为弦心距不大于圆半径，解之，得，故最大值为，最小值（2）设，则直线与圆有公共点的充要条件是，解用心爱心专心之，得，故最大值为，最小值为。另解：由，可设（1）设，其中，由，故，故（2）设，则，其中，由，得[例4]已知圆的方程为（1）求斜率为，且被圆截得的弦长是8的直线的方程；（2）若圆上到直线的距离最近的点是，求直线的方程。解：（1）设，圆方程，又由被圆截得的弦长为8，则弦心距为，故圆心（2，1）到直线的距离为或所求方程为或（2）记圆心C（12，1），，依题意，即故所求直线方程[例5]已知圆，直线，过直线上一点A作，使，边AB过圆心M，且B、C在圆M上。（1）当点A的横坐标为4时，求直线AC的方程；用心爱心专心（2）求点A横坐标的取值范围。解：（1）将圆M的方程变形为由点A在直线上，又A横坐标为4，故A（4，5），设直线AC的斜率为，由及夹角公式或，故直线或，容易验证直线AC与圆M相交，即为所求。（2）设，在中，因为直线AC与圆有公共点，则，即 ，由即，即为点A横坐标的取值范围。注：（1）从直线AC与直线AB相交使，求得AC斜率。（2）点C在M上，即AC与圆相交，利用它可确定A横坐标关系式，（1）解法2，A（4，5），过M作MN⊥AC于N，则，，设AC斜率为，则AC方程，则M到AC距离为又，故或[例6]自点发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线L所在直线的方程。解：如图，设L和x轴的交点B（b，0），则。由光学反射定律知，反射光线斜率为，所以反射光线所在直线为，即又圆为：，圆心C（2，2），半径用心爱心专心所以，所以或，则L所在直线方程为：或另解：如图，考虑已知圆C关于x轴对称的圆，由光学的反射定律知，入射光线所在直线与圆相切。设光线L所在直线方程为，即由，半径为1，所以解得或，下同解法1[例7]如下图，已知⊙M：，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切⊙M于A、B两点。（1）如果，求直线MQ方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程。解：（1）由，可得由射影定理得在中，故或用心爱心专心所以直线或即或（2）连结MB、MQ，设，，由点M、P、Q在同一条直线上，得，即②，①（由射影）由①②消去，并注意到可得[例8]设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长比为。在满足条件①、②的所有圆中求圆心到直线的距离最小的圆的方程。解法1：设圆的圆心为，半径，则点P到x轴，y轴的距离分别为由题设圆P截y轴所得弦长为2，故又由题设知圆P截x轴所得劣弧对圆心角为，知圆P截x轴所得的弦长为，故，从而得又由点到直线的距离为故当且仅当时，上式等号成立，此时，从而有最小值由或由，于是所求的圆的方程为或[例9]已知两圆和，求大圆被小圆截得劣弧的长度。用心爱心专心解：大圆的圆心（3，0），半径，则大圆参数方程为大圆与小...
