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高三数学抽象函数习题精选精讲VIP免费

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含有函数记号“”有关问题解法由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号的问题感到困难,学好这部分知识,能加深学生对函数概念的理解,更好地掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下:一、求表达式:1.换元法:即用中间变量表示原自变量的代数式,从而求出,这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1:已知,求.解:设,则∴∴2.凑合法:在已知的条件下,把并凑成以表示的代数式,再利用代换即可求.此解法简洁,还能进一步复习代换法。例2:已知,求解: 又 ∴,(||≥1)3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。例3.已知二次实函数,且+2+4,求.解:设=,则=比较系数得∴4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知=为奇函数,当>0时,,求解: 为奇函数,∴的定义域关于原点对称,故先求<0时的表达式。 ->0,∴, 为奇函数,∴∴当<0时∴例5.一已知为偶函数,为奇函数,且有+,求,.解: 为偶函数,为奇函数,∴,,用心爱心专心115号编辑不妨用-代换+=………①中的,∴即-……②显见①+②即可消去,求出函数再代入①求出5.赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出的表达式例6:设的定义域为自然数集,且满足条件,及=1,求解: 的定义域为N,取=1,则有 =1,∴=+2,……以上各式相加,有=1+2+3+……+=∴二、利用函数性质,解的有关问题1.判断函数的奇偶性:例7已知,对一切实数、都成立,且,求证为偶函数。证明:令=0,则已知等式变为……①在①中令=0则2=2 ≠0∴=1∴∴∴为偶函数。2.确定参数的取值范围例8:奇函数在定义域(-1,1)内递减,求满足的实数的取值范围。解:由得, 为函数,∴又 在(-1,1)内递减,∴3.解不定式的有关题目例9:如果=对任意的有,比较的大小解:对任意有∴=2为抛物线=的对称轴又 其开口向上∴(2)最小,(1)=(3) 在[2,+∞)上,为增函数∴(3)<(4),∴(2)<(1)<(4)五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数。用心爱心专心115号编辑例1、已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在区间[-2,1]上的值域。分析:由题设可知,函数f(x)是的抽象函数,因此求函数f(x)的值域,关键在于研究它的单调性。解:设, 当,∴, ,∴,即,∴f(x)为增函数。在条件中,令y=-x,则,再令x=y=0,则f(0)=2f(0),∴f(0)=0,故f(-x)=f(x),f(x)为奇函数,∴f(1)=-f(-1)=2,又f(-2)=2f(-1)=-4,∴f(x)的值域为[-4,2]。例2、已知函数f(x)对任意,满足条件f(x)+f(y)=2+f(x+y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式的解。分析:由题设条件可猜测:f(x)是y=x+2的抽象函数,且f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。解:设, 当,∴,则,即,∴f(x)为单调增函数。 ,又 f(3)=5,∴f(1)=3。∴,∴,即,解得不等式的解为-1

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