几何不等式测试题1．在△ABC中，M为BC边的中点，∠B=2∠C，∠C的平分线交AM于D
证明：∠MDC≤45°
2．设NS是圆O的直径，弦AB⊥NS于M，P为弧上异与N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交圆O于Q，求证：RS＞MQ
3．在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的平分线交外接圆于P、Q、R
证明：AP+BQ+CR＞BC+CA+AB
4．过△ABC内一点O引三边的平行线，DE∥BC,FG∥CA,HI∥AB,点D、E、F、G、I都在△ABC的边上，表示六边形DGHEFI的面积，表示△ABC的面积
5．求证：△ABC的内心I到各顶点的距离之和不小于重心G到各边距离之和的2倍
6．凸四边形ABCD具有性质：（1）AB=AD+BC，（2）在其内部有点P，P点到CD的距离为h，并使AP=h+AD,BP=h+BC，求证：
7．设H为锐角△ABC的垂心，A1，B1，C1，分别为AH，BH，CH与△ABC外接圆的交点
其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立
8．一凸四边形内接于半径为1的圆
证明：四边形周长与其对角线之和的差值u,满足0CN
参考答案【同步达纲练习】1．设∠B的平分线交AC于E，易证EM⊥BC作EF⊥AB于F，则有EF=EM，∴AE≥EF=EM，从而∠EMA≥∠EAM,即90°-∠AMB≥∠EAM
又2∠MDC=2（∠MAC+∠ACD）=2∠MAC+∠ACM=∠MAC+∠AMB，∴90°≥∠AMD+∠MAC=2∠MDC，∴∠MDC≤45°
2．连结NQ交AB于C，连结SC、SQ
易知C、Q、S、M四点共圆，且CS是该圆的直径，于是CS>MQ
再证Rt△SMC≌Rt△SMR，从而CS=RS，故有RS>MQ
3．设的内心为I，由IA+IB>AB,IB+IC>BC,即2（AP-IP+BQ-IQ+CR-IR）＞AB+BC+CA（1）连AR，∵∠AIR=∠
