南华中学高2016级文科数学天天练习（27）1.已知椭圆的离心率为，左、右焦点为，点是椭圆上任意一点，且的面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）过作垂直于轴的直线交椭圆于两点（点在第一象限），是椭圆上位于直线两侧的动点，若，求证：直线的斜率为定值．2.已知函数，其中为常数。（1）当时，求的极值；（2）若是区间内的单调递增函数，求实数的取值范围；（3）过坐标原点可以作几条直线与曲线相切？请说明理由．题源自重庆一中高2016级2015-2016学年度高三上期第四次月考参考答案1．解：（1）由题①，的最大面积为即是②由方程组，所以椭圆方程为：（2），设直线方程为：，代入椭圆得：，所以，又由题是椭圆上位于直线两侧的动点，若，等价于：化简得：，所以当时上式恒成立．所以直线的斜率为定值，且等于．另解：可以设直线的斜率求的坐标，再求斜率．2．解：（1）当时，所以在区间内单调，在区间内单调递增，于是有极小值，无极大值．（2）易知在区间内单调递增，所以由题意可得在内恒成立，即在内恒成立，所以，因为函数在时单减，所以所以，的数取值范围是．（3）设切点为，则切线方程为：，因为过原点，所在，化简得设则，所以在内单调递增，又，故方程有唯一实根，所以满足条件的切线只有一条．
