高三数学备考练习：第九讲几何中的运动 旧人教版VIP专享VIP免费

高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第九讲几何中的运动》主编：贾广素89第九讲几何中的运动平面几何证题的基本工具是全等三角形和相似三角形(俗称全等法、相似法).比中,要证明两个角相等,我们就去寻找一对全等(或相似)的三角形,使所证的角成全等(或相似)三角形的对应角;而要证明三角形全等(或相似)又需要去寻找3个(或2个)相等的条件.就是说，为了证明一个等式,我们要去寻找3个(或2个)等式.由于3个(或2个)等式不一定都是现成的。为了用得上全等(或相似)的工具,我们得依靠想象和创造去作辅助线.因此,平面几何证题的困难,不仅表现为“证一找三”上量的困难，而是表现为“构作辅助线”上质的困难，这用“静”的观点研究平面几何。还有一种“动”的观点，叫做几何变换（相当于物理学的刚体运动）.在几何的解题中，当题目给出的条件显得不够或者不明显时，我们可以将图形作一定的变换，这样将有利于发现问题的隐含条件，抓住问题的关键和实质，使问题得以突破，找到满意的解答．图形变换是一种重要的思想方法，它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想，很好地领会这种解题的思想实质，并能准确合理地使用，在解题中会收到奇效，也将有效地提高思维品质．图形变换包含平移、翻折和旋转，我们要通过实验、操作、观察和想象的方法掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题。由变换的观点看几何，几何学就是研究几何图形在运动中不变性质的学科。而运动是这样的一种几何变换，它把每一点A变到另一点A，并且使得任何两点A和B之间的距离等于它们所变到的点A和B之间的距离（有的书定义为从集合S到其自身的一一映射）。运动可以归结为平移、旋转、对称3种基本变换的组合，它们共同的特点是：保持距离不变、夹角不变、面积不变、点共线性不变、线共点性质不变，易知，若ABC运动变为ABC，则ABCABC.从解题的角度来看，把图形的全部或一部分经过运动，能使条件与结论的联系更加明显，能使辅助线的思考更加集中而自然。一、平移变换高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第九讲几何中的运动》主编：贾广素90设图形F经过平移变为F，而F中的点P与F中的点P是对应点，那么射线PP的方向是固定的，线段PP的长度也是固定的，即PPa。下面我们给出平移变换的定义。定义：设PO是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X，使得XX=PO，则T叫做沿有向线段PO的平移变换。记为X()TPOX，图形F()TPOF。平移变换除了具有运动的共同性质（保距性、保角性、保共点性、保共线性等）外，还有直线变为与之平行的直线，线段变为与之平行且相等的线段，平行直线变为平行直线（特殊情况是重合）。使用平移变换应该抓住3个要点：平移的对象、平移的方向、平移的长度。也就是说，在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。下面是一些常用到的平移变换的特殊情形：(1)与定长、定向的线段有关的问题，常作平移；(2)与梯形、正方形有关的问题，常可利用梯形、正方形的特性作平移．例1.如图“风车三角形”中，2,AABBCC60,AOBBOCCOA求证:面积不等式3.AOBBOCCOASSS○1分析:题中所涉及的三个三角形位置分散,若用代数方法,设0,AOx0,BOy0COz,则转化为证明代数不等式(2)(2)(2)4xyyzzx○2这样并没有降低题目的难度.若我们使用平移变换,将分散的条件集中到关系明显的图形中(如下图所示),结论便昭然若揭了.ACBACOB高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第九讲几何中的运动》主编：贾广素91解:将AOC沿AA方向平移||AA长,得AQR;将BOC沿BB方向平移||BB长,得BPR.由于2,60,OPOQPOQ故2.PQ但2.QRPROCOC故,,PQR三点共线,在正POQ中,有2323.4AOBBOCCOAAOBBRPAQROPQSSSSSSS...