在双曲线中有关中点弦存在性问题的探索(浙江省宁波市鄞州中学数学组315101)黄富眷直线和圆锥曲线的位置关系，是解析几何中最主要的题型，这类问题涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段的中点、弦长等．解决的方法往往采用数形结合思想、“设而不求”的方法和韦达定理．其中椭圆、双曲线、抛物线的中点弦存在性问题是相当常见的．由于椭圆和抛物线的弦的中点必在曲线的内部因此相对较简单，而双曲线的弦的中点可以在曲线的内部和外部，所以双曲线的中点弦存在性问题就值得我们去探索．例己知双曲线方程。一Y。===2．(1)求以P(2，1)为中点的双曲线弦所在的直线方程．(2)过点Q(1，1)能否作直线z，使Z与所给的双曲线交于A，B两点，且点Q是弦AB的中点?这样的直线z如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)设以P(2，1)为中点的弦两端点为A(x，Y)，B(x。，Y。)两点，由于A，B在双曲线上，则有2x；一Yi=1，2z；一Y；===1，两式相减得2(1+2)(l—2)一(1+Y2)(l—Y2)=0，由已知：l+2===4，Y1+Y2=2，又据对称性知思路：这个花圃分为6个部分，但6个部分不是只有一公共点的，不能应用前述的思路和方法．若将第1部分视为一点，则转化为上述的问题．于是我们分为两大步进行：第一步：确定第1部分的栽种方法，可以从4种颜色的花中任选一种，有4种方法．第二步：确定第2，3，4，5，6这5个部分的栽种方法，按要求只能从余下的3种颜色的花中选取．现将第一部分视为一点，形成只有一个公共点的5个部分的情形．分别考察一区域被分成3、4、5个小区域的情形，各小区域均只有一公共点(如图6)，设它们的栽种方法分别是口3，口4，口5．≠。，所以丛二丝一4．即AB一4．所求中点Xl—2弦所在直线方程为：4x—一7=O．在解析几何中，在处理涉及弦中点的问题时，我们常用点差法思想．严格地说，求出的这个直线方程只是满足了必要性，因为我们假定过P点的直线与双曲线交于A，B两点，因此还必须验证充分性，即所求的直线确实与双曲线有两个交点．为此只要将直线方程与双曲线方程联立消(或)，得△>0，就可断言充分性成立．事实上，从2-2。一1。=7>2，也可判定P(2，1)在双曲线内部(即含焦点的区域)．所以用点差法，就必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法．在利用韦达定理时，必须讨论一元二次方程的二次系数和判别式．。(2)可假定直线z存在，采用(1)的方法求出l的方程为2x—Y一1=0，联立方程组O2一．2—1』：__，消Y，得2x一4x+30，lZx—Y—l—UA：(一4)一4·2—38<0，无实根．因此直线z与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线z不存在．幽6可以得到：口3—3×2×1=6，一3×2一口3—18，口5=3×2‘～一30．即第2，3，4，5，6这5个部分不同的栽种方法有3O种．由以上两步，6个部分不同的栽种方法有4×30—120种．-o0∞年0月上半月划剥一引刈●，通过这个例题清楚地表明了以某一定点为中点的双曲线的弦的存在性问题若用点差法的思想来处理的话，可能会造成错解．所以一般地，还是采用直线与双曲线联立方程组，消元后通过一元二次方程的系数和判别式来判断直线中点弦的存在性．另外从上面的例题中可以看出，以某一定点为中点的双曲线的弦并不一定存在。显然与这个定点的坐标有关，因此在对双曲线中点弦存在性问题的探索中，笔者发现其实通过对定点所在位置的判定，可以很快地确定双曲线中点弦是否存在及弦所在直线的条数．问题已知：双曲线一=1和坐标平面上任一点P(x。，Yo)，过点P能否作直线z，使z与所给的双曲线交于A、B两点，且点P是弦AB的中点?这样的z如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解：(f)当直线l与轴垂直时，由于双曲线的对称性可知，显然只有当P(x。，O)。且IoI>a时，以点P(x。，O)为中点的弦AB所在直线Z是唯一存在．(ii)当点P就在原点O上，此时可设直线Z方程为Y—，代入双曲线方程得(一a2k。)一￡0a2b=0，当k。<时，△>o，所以存在以原点为中点的弦AB，交点在左右支上，这样弦AB所在直线l有无数条。斜率为k<__O-．(iii)当直线l与轴不垂直时，且定点不在原点时，设直线Z的斜率为k，所以过点P(x。，Y。)，(。≠O)的直线方程可设为：Y=忌(—。)+y。．联立方程...
