高三数学函数的应用知识精讲VIP专享VIP免费

高三数学函数的应用【本讲主要内容】函数的应用【知识掌握】【知识点精析】与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题。常见的函数模型有一次函数，二次函数，y＝ax+bx型，指数函数模型等等。解答这类问题的关键是确切建立相关函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合运用并解答。要学会用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识。用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察处理问题。【解题方法指导】解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解。一般的解题程序是：读题（文字语言）→建模（数学语言）→求解（数学应用）→反馈（检验作答）如下图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当P沿着A—B—C—M运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积为y的函数y＝f（x）的图象形状大致是（）答案：A[例2]某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么年后若人均一年占有千克粮食，求出函数关于的解析式。分析：此题解决的关键在于恰当引入变量，抓准数量关系，并转化成数学表达式，具体解答可以依照例子。解：设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M。经过1年后该乡镇粮食总产量为360M（1+4%），人口量为M（1+1.2%）则人均占有粮食为；经过2年后人均占有粮食为……经过年后人均占有粮食即所求函数式为：注：这是一个有关平均增长率的问题，如果原来的产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间的总产值可以用下面的公式，即解决平均增长率的问题，常用这个函数式。[例3]在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”是这样一个量：与其他近似值比较与各数据差的平方和最小，依此规定，从推出的=。分析：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化成函数求最值问题。解由题意可知，所求应使最小由于若把看作自变量，则是关于的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值。因为n>0，二次函数图象开口方向向上。当时，有最小值所以即为所求注：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即然后运用函数的思想、方法去解决问题，解题关键是将函数式化成以为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用。【考点突破】【考点指要】应用问题这几年在高考试题中地位不如以前那么多样性呈现，以至于成为试题的难点之一。由于添加了概率统计等新的应用问题，使得问题形势相对集中在几种概型上，而作为函数的应用，变得愈加少了，更着重于创新、提供新背景等形式出题。【典型例题分析】[例1]（06江西卷）某地一年的气温Q（t）（单位：ºc）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10ºc，令G（t）表示时间段（0，t）的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（）解：看图像应从零月份连续看，而不应该从截取的某一个区间分析。通过观察，我们发现在接近6月时，平均气温应该接近零度，排除C，越接近12月，则越接近已知的平均气温10度，排除D。又因为6月之后，气温越来越高，平均气温应呈递增趋势，后气温下降，逐渐减至10度，而不应该出现平均气温的波动，故选A图（1）ABCD[例2]（06天津）、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的...