高三数学典型例题解析：第三章 基本初等函数Ⅱ（三角函数）VIP专享VIP免费

第三章基本初等函数Ⅱ（三角函数）3.1任意角三角函数一、知识导学1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.2．弧度制：任一已知角的弧度数的绝对值rl，其中l是以作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.3．弧度与角度的换算：rad2360；rad1745.01801；130.57180rad.用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度不可省略.4．弧长公式、扇形面积公式：,rl2||2121rlrS＝扇形,其中l为弧长，r为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当2时的情形.5．任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P的坐标是yx,，它与原点的距离是)0(rr，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是yrxryxxyrxrycsc,sec,cot,tan,cos,sin.这六个函数统称为三角函数.6．三角函数的定义域三角函数定义域xysinRxycosRxytanZkkxx,2xycotZkkxx,xysecZkkxx,2xycscZkkxx,7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.二、疑难知识导析1．在直角坐标系内讨论角（1）角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为x轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.（2）与角终边相同的角的集合表示.Zkk,360，其中为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360整数倍.2．值得注意的几种范围角的表示法“0～90间的角”指900；“第一象限角”可表示为Zkkk,90360360；“小于90的角”可表示为90.3．在弧度的定义中rl与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关.4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P坐标中必有一个为0.5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角与)(360Zkk的同名三角函数值相等；（2）ryrx,，故有1sin,1cos，这是三角函数中最基本的一组不等关系.6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？三、经典例题导讲[例1]若A、B、C是ABC的三个内角，且)2(CCBA，则下列结论中正确的个数是（）①.CAsinsin②.CAcotcot③.CAtantan④.CAcoscosA．1B.2C.3D.4错解：CA∴CAsinsin，CAtantan故选B错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误正解：法1CA在ABC中，在大角对大边，ACacsinsin,法2考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A.[例2]已知,角的终边关于y轴对称，则与的关系为.错解： ,角的终边关于y轴对称，∴22+k2，（)zk错因：把关于y轴对称片认为关于y轴的正半轴对称.正解： ,角的终边关于y轴对称∴)(,22Zkk即)(,2zkk说明：（1）若,角的终边关于x轴对称，则与的关系为)(,2Zkk（2）若,角的终边关于原点轴对称，则与的关系为)(,)12(Zkk（3）若,角的终边在同一条直线上，则与的关系为)(,Zkk[例3]已知542cos...