高三数学从一道压轴题赏析不等式的求证方略VIP免费

从一道压轴题赏析不等式的求证方略在高中数学教学中，不等式的证明始终是一个难点，其原因是证明不等式无固定的程序可行，方法多样，技巧性强。教材中虽然介绍了四种基本方法，但我们在作题过程中所接触到的不等式种类繁多，如数列不等式，绝对值不等式和三角不等式等等。这些不等式仅仅利用上述方法是很难适应解题需要的，有些即使能证出，但由于采用传统的证明方法往往是途径曲折，叙述冗长，结果很难令人满意。我们不妨在大家掌握的基础之上另辟蹊径，对于不同的不等式分别运用相应的证法，往往会达到事半功倍的效果。证明不等式主要有以下方法：1.1：放缩法在证明过程中，根据不等式传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的，常用方法为改变分子（分母）放缩法，拆补法，编组放缩法，寻找“中介量”放缩法。例1：（2009年高考广东理科卷21题）：已知曲线22:20(1,2,)nCxnxyn．从点(1,0)P向曲线nC引斜率为(0)nnkk的切线nl，切点为(,)nnnPxy．（1）求数列{}{}nnxy与的通项公式；（2）证明：1352112sin1nnnnnxxxxxxxy．【解析】（Ⅰ）（略）1nnxn,211nnnyn.（Ⅱ）要证:13521121nxxxxn, 121111111nnnnnxxnn，121214)12(4)12(2122222nnnnnnnn，∴nnnxxnnnnnxxxx1112112125331212432112531值得注意的是运用放缩法证明不等式技巧性相当强，它需要恰当好处，不要过头，对于放缩目标可以从要证的结论考察。1.2：构造法在证明不等式时，我们有时通过构造某种函数，恒等式，复数等，可以达到简洁，明快，以巧取胜的目的。对于例1，我们也可利用构造法加以证明：令135212462,nnAxxxxBxxxx，数列nx为递增数列，显然AB，那么用心爱心专心212321211232234211nnnnxnABAxxxxxnx，从而1352111nnnxxxxxx，得证。1.3：换元法换元法就是根据题目需要进行一些等量代换，选择适当的辅助参数简化问题的一种方法。换远法通常是三角换元和均值换元法等等。对于例1第（2）问，要证：112sin2121nn不妨设13(0,]321tn,令()2sinfttt,则()12cos0ftt在3(0,]3t上恒成立，故()2sinfttt在3(0,]3t上单调递减,从而()2sin(0)0ftttf,即112sin2121nn.在运用换元法证明不等式时往往会增加一些多余的参数，但必须注明参数的取值范围。1.4：数学归纳法对于含有()nnN的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在()nkkN时成立的假设下，还能证明不等式1nk时也成立，那么肯定这个不等式是对n取第一个值以后的自然数都成立。数学归纳法是证明不等式极其重要的方法，一个关于自然数n的命题（不等式），如果用其它方法无效时可考虑数学归纳法。例2：（2009年高考山东理科卷20题）：等比数列{na}的前n项和为nS，已知对任意的nN，点(,)nnS，均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数)的图像上.（1）求r的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）当b=2时，记22(log1)()nnbanN证明：对任意的nN，不等式1212111·······1nnbbbnbbb成立解:（1）略；用心爱心专心（2）当b=2时，11(1)2nnnabb,1222(log1)2(log21)2nnnban则1212nnbnbn,所以121211135721·······2462nnbbbnbbbn下面用数学归纳法证明不等式121211135721·······12462nnbbbnnbbbn成立.当1n时,左边=32,右边=2,因为322,所以不等式成立.假设当nk时不等式成立,即121211135721·······12462kkbbbkkbbbk成立.则当1nk时,左边=11212111113572123·······246222kkkkbbbbkkbbbbkk2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(...