第三章导数及其应用考点1导数的概念及运算1.(2014·大纲全国，7)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A.2eB.eC.2D.11.C[由题意可得y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点(1，1)处切线的斜率等于2，故选C.]2.(2014·新课标全国Ⅱ，8)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A.0B.1C.2D.32.D[y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.]3.(2014·陕西，3)定积分(2x＋ex)dx的值为()A.e＋2B.e＋1C.eD.e－13.C[∫(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，因此选C.]4.(2014·江西，8)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝()A.－1B.－C.D.14.B[因为∫f(x)dx是常数，所以f′(x)＝2x，所以可设f(x)＝x2＋c(c为常数)，所以x2＋c＝x2＋2(x3＋cx)|，解得c＝－，∫f(x)dx＝∫(x2＋c)dx＝∫(x2－)dx＝|＝－.]5.(2014·山东，6)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2B.4C.2D.45.D[由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为∫(4x－x3)dx＝|＝4.]6.(2014·湖南，9)已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A.x＝B.x＝C.x＝D.x＝6.A[由定积分∫0sin(x－φ)dx＝－cos(x－φ)|0＝cosφ－sinφ＋cosφ＝0，得tanφ＝，所以φ＝＋kπ(k∈Z)，所以f(x)＝sin(x－－kπ)(k∈Z)，由正弦函数的性质知y＝sin(x－－kπ)与y＝sin(x－)的图象的对称轴相同，令x－＝kπ＋，则x＝kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的图象的对称轴为x＝kπ＋π(k∈Z)，当k＝0，得x＝，选A.]7.(2014·湖北，6)若函数f(x)，g(x)满足＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.37.C[对于①，∫sinxcosxdx＝∫sinxdx＝0，所以①是一组正交函数；对于②，∫(x＋1)(x－1)dx＝∫(x2－1)dx≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，∫x·x2dx＝∫x3dx＝0，所以③是一组正交函数.选C.]8.(2016·全国Ⅲ，15)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________.8.2x＋y＋1＝0[设x＞0，则－x＜0,f(－x)＝lnx－3x,又f(x)为偶函数，f(x)＝lnx－3x，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1.]9.(2016·全国Ⅱ，16)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.9.1－ln2[y＝lnx＋2的切线为：y＝·x＋lnx1＋1(设切点横坐标为x1).y＝ln(x＋1)的切线为：y＝x＋ln(x2＋1)－，(设切点横坐标为x2).∴解得x1＝，x2＝－，∴b＝lnx1＋1＝1－ln2.]10.(2015·陕西，15)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.10.(1，1)[ (ex)′|x=0＝e0＝1，设P(x0，y0)，有()′|x=x0＝－＝－1，又x0＞0，∴x0＝1，故P(1，1).]11.(2015·湖南，11)(x－1)dx＝________.11.0[∫(x－1)dx＝＝×22－2＝0.]12.(2015·天津，11)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________.12.[曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形如图，由得A(1，1)，面积S＝∫xdx－∫x2dx＝x20＝－＝.]13.(2015·陕西，16)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.13.1.2[由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，设抛物线方程为y＝ax2，将点(5，2)代入抛物线方程得a＝，故抛物线方程为y＝x2,抛物线的横截面面积为S1＝2(2-x2)dx＝2(2x-x3)|＝(m2)，而原梯形上底为10－×2＝6(m)，故原梯形面积为S2＝(10＋6)×2＝16，＝＝1.2.]14.(2014·江西，13)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________.14.(－ln2，2)[由题意有y′＝－e－x，设P(m，n)，直线2x＋y＋1＝0的斜率为－2，则由题意得－e－m＝－2，解得m＝－ln2，所以n＝e－(－ln2)＝2.]考点2导数的应用1.(2015·福建,10)若...
