第三节合情推理与演绎推理A组基础题组1.观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,……,则52017的末四位数字为()A.3125B.5625C.0625D.81252.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cosx)'=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)3.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,……,则a10+b10=()A.28B.76C.123D.1994.给出以下数对序列:(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为aij,如a43=(3,2),则anm=()A.(m,n-m+1)B.(m-1,n-m)C.(m-1,n-m+1)D.(m,n-m)5.已知数列{an}是正项等差数列,若cn=,则数列{cn}也为等差数列.已知数列{bn}是正项等比数列,类比上述结论可得()A.若{dn}满足dn=,则{dn}也是等比数列B.若{dn}满足dn=,则{dn}也是等比数列C.若{dn}满足dn=(b1·2b2·3b3·…·nbn,则{dn}也是等比数列D.若{dn}满足dn=(b1···…·,则{dn}也是等比数列6.设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=,类比这个结论可知:四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球的半径为R,四面体S-ABC的体积为V,则R=()A.B.C.D.7.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,……按此规律,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数.则f(4)=,f(n)=.8.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,都有≤f.已知y=sinx在区间(0,π)上是凸函数,那么在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是.9.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.B组提升题组10.两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位如图所示,则下列座位号码符合要求的应当是()窗口12过道345窗口6789101112131415……………A.48,49B.62,63C.75,76D.84,8511.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…为正方形数.下列数中,既是三角形数又是正方形数的是()A.289B.1024C.1225D.137812.对于实数x,[x]表示不超过x的最大整数,观察下列等式:[]+[]+[]=3,[]+[]+[]+[]+[]=10,[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21,……按照此规律,第n个等式的等号右边的结果为.13.设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f[f1(x)]=,f3(x)=f[f2(x)]=,f4(x)=f[f3(x)]=,……根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N*且n≥2时,fn(x)=f[fn-1(x)]=.14.如图,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,……依此类推,则标签为20132的格点的坐标为.15.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都是同一常数,那么这个数列叫“等和数列”,这个常数叫做这个数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,求:(1)a18的值;(2)该数列的前n项和Sn.答案全解全析A组基础题组1.A55=3125,56=15625,57=78125,58=390625,59=1953125,510=9765625,……,可得59与55,510与56的末四位数字相同,……,由此可归纳出5m+4k与5m(k∈N*,m=5,6,7,8)的末四位数字相同,又2017=4×503+5,所以52017与55的末四位数字相同,故52017的末四位数字为3125,故选A.2.D由已知归纳得,偶函数的导函数为奇函数,又由题意知f(x)是偶函数,所以其导函数应为奇函数,故g(-x)=-g(x).选D.3.C解法一:由a+b=1,a2+b2=3得ab=-1,则a10+b10=(a5+b5)2-2a5b5=123,故选C.解法二:令an=an+bn,则a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,a5=11,……,得an+2=...
