第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例A组基础题组1.设向量a=(1,-2),向量b=(-3,4),向量c=(3,2),则(a+2b)·c=()A.(-15,12)B.0C.-3D.-112.(2016河南八市重点高中质检)已知平面向量a,b的夹角为,且a·(a-b)=8,|a|=2,则|b|等于()A.B.2C.3D.43.已知e1,e2是单位向量,m=e1+2e2,n=5e1-4e2,若m⊥n,则e1与e2的夹角为()A.B.C.πD.π4.(2016德州模拟)如图,在△ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,<,>=60°,则||=()A.1B.2C.D.55.如图,在等腰三角形ABC中,底边BC=2,=,=,若·=-,则·=()A.-B.C.-D.6.已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb垂直,则实数k=.7.如图所示,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,则·(-)=.8.已知平面向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=2,在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,=,则||=.9.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.(1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|;(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?10.(2016上海静安一模)如图,已知O为坐标原点,向量=(3cosx,3sinx),=(3cosx,sinx),=(,0),x∈.(1)求证:(-)⊥;(2)若△ABC是等腰三角形,求x的值.B组提升题组11.(2016河南商丘二模)已知a、b均为单位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是()A.[3,]B.[3,5]C.[3,4]D.[,5]12.(2016四川成都模拟)已知菱形ABCD边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R,若·=-3,则λ的值为()A.B.-C.D.-13.(2016江苏,13,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·的值是.14.已知圆O的半径为2,AB是圆O的一条直径,C、D两点都在圆O上(C、D不与A、B重合),且||=2,求|+|.15.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=,n=,且m与n的夹角为.(1)求角C;(2)已知c=,S△ABC=,求a+b的值.答案全解全析A组基础题组1.C∵a=(1,-2),b=(-3,4),∴a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6).又∵c=(3,2),∴(a+2b)·c=(-5,6)·(3,2)=-5×3+6×2=-3,故选C.2.D因为a·(a-b)=8,所以a·a-a·b=8,即|a|2-|a||b|cos
=8,所以4+2|b|×=8,解得|b|=4.3.B因为m⊥n,|e1|=|e2|=1,所以m·n=(e1+2e2)·(5e1-4e2)=5+6e1·e2-8=-3+6e1·e2=0.所以e1·e2=.设e1与e2的夹角为θ,则cosθ==.因为θ∈[0,π],所以θ=.4.C因为O为BC中点,所以=(+),||2=(+2·+)=(12+2×1×3×cos60°+32)=,所以||=.5.A如图,作AF⊥BC于F,∵△ABC是等腰三角形,∴BF=FC=BC=1.因为=D⇒是AC的中点⇒=(+),所以·=-⇒(+)·(-)=-⇒-=-1⇒=5|⇒|=,所以cos∠ABC==,·=(-)·=·(-)=·-=2××-×5=2-=-.6.答案±解析已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb垂直,则(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,即5-25k2=0,即k2=,所以k=±.7.答案-解析由已知得||=,||=,则·(-)=(+)·=·+·=cos+×=-.8.答案2解析因为=,所以点D为BC的中点,所以=(+)=2m-2n,又因为|m|=,|n|=2,平面向量m,n的夹角为,所以||=2|m-n|=2=2=2.9.解析由已知得,a·b=4×8×=-16.(1)①∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,∴|a+b|=4.②∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768,∴|4a-2b|=16.(2)若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)·(ka-b)=0,∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,即16k-16(2k-1)-2×64=0.解得k=-7.即k=-7时,a+2b与ka-b垂直.10.解析(1)证明:∵-=(0,2sinx),∴(-)·=0×+2sinx×0=0,∴(-)⊥.(2)△ABC是等腰三角形,则AB=BC,∴(2sinx)2=(3cosx-)2+sin2x,整理得2cos2x-cosx=0,解得cosx=0或cosx=.∵x∈,∴cosx=,x=.B组提升题组11.B∵a、b均为单位向量,且a·b=0,∴设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),代入|c-4a|+|c-3b|=5,得+=5,即(x,y)到A(4,0)和B(0,3)的距离和为5(如图),令c的起点为坐标原点O,则c的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段,又|c+a|=,表示M(-1,0)到线段AB上点的距离,最小值是点(-1,0)到直线3x+4y-12=0的距离,∴|c+a|min==3.又最大值为|MA|=5,∴|c+a|的取值范围是[3,5].故选B.12.A解法一:由题意可得·=2×2cos60°=2,·=(+)·(-)=(+)·[(-)-]=(+)·[(λ-1)-]=(1-λ)-·+(1-λ)·-=(1-λ)·4-2+2(1-λ)-4=-6λ=-3,∴λ=,故选A.解法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),C(1,),D(-1,).设P(x,0),则·=(-3,)·(x-1,-)=-3x+3-3=-3x=-3,得x=1.∵=λ,∴λ=.故选A.13.答案解析由已知可得=+=+=-=(-)-(+)=-,=+=+=-=(-)-(+)=-,=+=+=(-)-(+)=-,=+=+=(-)-(+)=-,因为·=4,所以·=4,则·=·=·--+·=·-(+)=×4-(+)=-1,所以+=,从而·=·=-·-+·=-(+)+·=-×+×4==.14.解析如图,连接OC,OD,则=+,=+,因为O是AB的中点,所以+=0,所以+=+,设CD的中点为M,连接OM,则+=+=2,易知△COD是边长为2的等边三角形,所以||=,故|+|=|2|=2.15.解析(1)因为向量m=,n=,所以m·n=cos2-sin2,|m|==1,|n|==1,又m与n的夹角为,所以cos==cos2-sin2=cosC=,因为0
