高三数学 第二篇 第三节 函数的奇偶性课时精练 理 北师大版VIP专享VIP免费

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题1．(2009年珠海模拟)函数y＝－x2(x∈R)是()A．左减右增的偶函数B．左增右减的偶函数C．减函数、奇函数D．增函数、奇函数【解析】 y＝－x2是开口向下的一条抛物线，∴y＝－x2在(－∞，0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数，不妨设y＝f(x)＝－x2，则f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．【答案】B2．(2008年重庆高考)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)＋1为奇函数D．f(x)＋1为偶函数【解析】 对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，∴令x1＝x2＝0，得f(0)＝－1∴令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1，∴f(x)＋1＝－f(－x)－1＝－[f(－x)＋1]，∴f(x)＋1为奇函数．【答案】C3．(2008年福建高考)函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为()A．3B．0C．－1D．－2【解析】由f(a)＝2，得a3＋sina＋1＝2，a3＋sina＝1，又f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－(a3＋sina)＋1＝－1＋1＝0.【答案】B4．(2008年湖北高考)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝()A．－2B．2C．－98D．98用心爱心专心1【解析】 f(7)＝f(4＋3)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2.【答案】A5．(2009年盐城模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)＜－的解集是()A．(－∞，－1)B．(－∞，－1]C．(1，＋∞)D.[1，＋∞)【解析】当x＞0时，1－2－x＝1－＞0与题意不符，当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝1－2x，又 f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝1－2x，∴f(x)＝2x－1，∴f(x)＝2x－1＜－，∴2x＜，∴x＜－1，∴不等式f(x)＜－的解集是(－∞，－1)．【答案】A二、填空题6．(2008年上海高考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)＞0的x的取值范围是________．【解析】当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，由对数函数图象与性质知x∈(0,1)时f(x)＜0，x∈(1，＋∞)时f(x)＞0.又 f(x)是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称．∴x∈(－∞，－1)时f(x)＜0，x∈(－1,0)时f(x)＞0.综上所述，满足f(x)＞0的x的范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．【答案】(－1,0)∪(1，＋∞)7．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋1)＋f(x)＝3，当x∈[0,1]时，f(x)＝2－x，则f(－2009.9)＝________.【解析】 f(x)是定义在R上的偶函数且f(x＋1)＋f(x)＝3①∴f(－x＋1)＋f(－x)＝3，即f(x－1)＋f(x)＝3由①②，得f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x)的周期T＝2，②∴f(－2009.9)＝f(－2010＋0.1)＝f(0.1)＝2－0.1＝1.9.【答案】1.98．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；用心爱心专心2③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)，其中正确的序号是________．【解析】 f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x＋1)＝－[－f(x＋1＋1)]＝f(x＋2)，∴f(x)是周期为2的函数，①正确．又 f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴y＝f(x)的图象关于x＝1对称，②正确，又 f(x)为偶函数且在[－1,0]上是增函数，∴f(x)在[0,1]上是增函数，又 对称轴为x＝1.∴f(x)在[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)，故③④错误，⑤正确．【答案】①②⑤三、解答题9．已知函数f(x)＝(a、b、c∈Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)＜3，求a、b、c的值．【解析】由f(－x)＝－f(x)，得－bx＋c＝－(bx＋c)，∴c＝0.由f(1)＝2，得a＋1＝2b①由f(2)＜3，得＜3②由①②得＜3③解得－1＜a＜2.又a∈Z，∴a＝0或a＝1.若a＝0，则b＝，与b∈Z矛盾，若a＝1，则b＝1，∴a＝1，b＝1，c＝0.10．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a＝0时，f(x)＝x2对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．当a≠...