高三数学 第55练 空间角与距离练习-人教版高三全册数学试题VIP免费

第55练空间角与距离训练目标(1)会求线面角、二面角；(2)会解决简单的距离问题．训练题型(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距离．解题策略利用定义、性质去“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解.一、选择题1.如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的投影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A.B.C.D.2．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的体积为，底面是边长为的正三角形．若P为△A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A.B.C.D.π3.如图所示，在三棱锥S—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，SA＝3a，且SA⊥平面ABC，则点A到平面SBC的距离为()A.B.C.D.二、填空题4.如图，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，且等腰直角三角形ABD与等边三角形BCD所在平面垂直，E为BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为________．5.如图所示，在三棱锥S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝，则二面角S－BC－A的大小为________．6．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下命题：①异面直线C1P与B1C所成的角为定值；②二面角P－BC1－D的大小为定值；③三棱锥D－BPC1的体积为定值；④异面直线A1P与BC1间的距离为定值．其中真命题的个数为________．三、解答题7.(2016·潍坊模拟)如图所示，底面ABC为正三角形，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，EA＝AB＝2DC＝2a，设F为EB的中点．(1)求证：DF∥平面ABC；(2)求直线AD与平面AEB所成角的正弦值．8.(2016·辽宁沈阳二中月考)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点O在AB上，且OB＝OC＝AB，PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝PO.(1)求证：PB∥平面COD；(2)求二面角O－CD－A的余弦值．9.如图，正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点．设P为线段FG上任意一点．(1)求证：EP⊥AC；(2)当P为线段FG的中点时，求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．答案精析1．D[连接A1B，易知∠A1AB为异面直线AB与CC1所成的角，2．设AB＝a，易求得AD＝a，A1D＝，则A1B＝＝a，故cos∠A1AB＝＝.]2．B[因为AA1⊥底面A1B1C1，所以∠APA1为PA与平面A1B1C1所成的角．因为平面ABC∥平面A1B1C1，所以∠APA1为PA与平面ABC所成角．因为正三棱柱ABC－A1B1C1的体积为，底面三角形的边长为，所以S△ABC·AA1＝，可得AA1＝.又易知A1P＝1，所以tan∠APA1＝＝，又直线与平面所成的角属于[0，]，所以∠APA1＝.]3．A[作AD⊥CB交CB的延长线于点D，连接SD，如图所示． SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC.又BC⊥AD，SA∩AD＝A，SA⊂平面SAD，AD⊂平面SAD，∴BC⊥平面SAD，又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD.在平面SAD内，过点A作AH⊥SD于点H，则AH⊥平面SBC，AH的长即为点A到平面SBC的距离．在Rt△SAD中，SA＝3a，AD＝AB·sin60°＝a.由＝，得AH＝＝＝，即点A到平面SBC的距离为.]4．45°解析取BD的中点F，连接EF，AF(图略)，易得AF⊥BD，AF⊥平面BCD，则∠AEF就是AE与平面BCD所成的角，由题意知EF＝CD＝BD＝AF，所以∠AEF＝45°，即AE与平面BCD所成的角为45°.5．60°6．4解析对于①，因为在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，在正方体中有B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，所以这两个异面直线所成的角为定值90°，故①正确；对于②，因为二面角P－BC1－D为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角，而这两个平面为固定不变的平面，所以夹角也为定值，故②正确；对于③，三棱锥D－BPC1的体积还等于三棱锥P－DBC1的体积，而△DBC1面积一定，又因为P∈AD1，而AD1∥平面BDC1，所以点A到平面BDC1的距离即为点P到该平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，故③正确；对于④，因为直线A1P和BC1分别位于平面ADD1A1，平面BCC1B1中，且这两个平面平行，由异面直线间的距离定义及求法，知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离，所以这两个异面直线间的距离为定值，故④正确．综上知，真命题的个数为4.7．(1)证明如图，过点F作FH∥EA交AB于点H，连接HC. EA⊥平面ABC，DC⊥...